XUY=Z라 두고 Z가 connected가 아니라고 가정
Z=AUB로 쓸수 있음 이때 A, B 다 공집합이 아니고 A 교집합 B클로져 = 공집합, A클로져 교집합 B = 공집합. A_x = A 교집합 X, A_y= A교집합 Y, 마찬가지로 B_x, B _y도 비슷하게 정의함. X교집합 Y가 공집합이 아니므로 X교집합 Y에 속하는 원소 c가 존재. c는 A에속할수도 있고 B에 속할수도 있는데 일반성을 잃지 않고 A에 속한다고 가정. A_x != 공집합, A_y != 공집합임.
B_x, B_y 모두 공집합이면 합집함인 B가 공집합이 되므로 모순. 그러므로 B_x != 공집합 또는 B_y != 공집합
각각의 경우 모두 X가 connected, Y가 connected라는 사실에 모순


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