Z_8 \times Z_2 \times Z_3 하고 Z_4 \times Z_4 \times Z_3이 동형이 아님을 보이고 싶거든??
그래서
1. Z_2 \times Z_8와 Z_4 \times Z_4가 동형이 아님
2. 양변에 Z_3를 곱한 것도 동형이 아님
으로 쪼개서 증명하려 해. 1은 뭐 위수를 따지면 되는데 2를 증명 못하겠어....
이렇게 푸는 게 맞는 걸까? 아님 다른 아이디어 좀 던져줘
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math, cartesian product, isomorphism
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abstract algebra, direct product
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Z_8 \times Z_2 \times Z_3 에는 위수가 24인 원소가 존재함. (1,0,1) 하지만 Z_4 \times Z_4 \times Z_3 에는 원소의 최대 위수는 12임
오 그런 쉬운 방법이 있었네요
혹시 최대위수도 같은 경우가 생기면 어떨까요.... 예를들어 Z_8 \times Z_2 \times Z_8 하고 Z_4 \times Z_4 \times Z_8이라든지...
음.. 글쎄요... 딱히 쉬운 방법이 떠오르지는 않는데, 오른쪽은 Z/4 x Z/4 x Z/4를 부분군으로 가지지만 왼쪽은 그게 불가능하다 라는걸 증명할 수 있을거 같아요. (언젠가...) 유한생성아벨군의 분류에 대해서 배우는 날이 와요. 유한생성아벨군은 무조건 Z/p^n들의 곱과 Z들의 곱으로 유일한 표현을 가진다는 정리가 있어요.
참고로 "양변에 Z_3를 곱한 것도 동형이 아님" 이것도 유한생성아벨군의 분류를 이용하지 않고서는 증명하기 쉽지 않을거 같긴 해요
그렇군요 시간 내주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
finitely generated free 어쩌구 정리