[일반] uniformly continuous on bounded set 질문

[익명(211.207)]

E is a subset of R^n

f:E -> R is uniformly continuous on E

prove that f is bounded on E

어케 증명하나요?

- dc official App

[익명(59.11)]

l1 norm만 봐도 아님 조건 부족함

[익명(matiker)]

일단 E가 bounded라는 조건을 제목에만 쓴거같고, uniformly continuous 조건에서 엡실론을 1로 잡은 다음 나오는 델타가 나오는데 지름이 델타인 유한개의 open disk로 E를 덮을수 있게됨 그럼 각각의 open disk들 중에서 상한이랑 하한 뽑아서 제일 큰거랑 제일 작은거 잡으면 끝 - dc App

[수갤러 1(118.235)]

대충 개요만 잡으면 E가 bounded일 때, (귀류법) f가 bounded가 아니다. ||f(x_n)|| > n 인 {x_n}⊂E이 존재함 가정. E가 bounded이므로 Bolzano-Weierstrass thm에 의해 x_n은 수렴하는 부분수열 x_n_k 를 가짐.

[수갤러 1(118.235)]

이때 x_n_k는 (수렴하므로) Cauchy지만 f(x_n_k)는 (bounded조차 아니므로) Cauchy가 아니고 f는 Cauchy수열을 보존하지 않고, f는 uniformly continuous가 아니게 되므로 모순.

[익명(110.45)]

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