테일러 급수로 e를 구하면 e는 1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!...... 이렇게 나오는데
일단 귀류법을 이용해서 증명하자면
e=a/b라는 유리수로 가정하고(a, b는 정수)
x=b!(e-sigma (n=0→b) 1/n!)로 두었을때
위 식을 정리하면 a×(b-1)!-(1+b+ b×( b-1)+b×(b-1)×(b-2)....×b!) 이렇게 나옴
따라서 x는 양의 정수라는것을 알수있고
다시한번 x를 정리해보면
x=b!×(sigma (n=b+1→inf) 1/n!) 이라는것을 알수 있음
b는 시그마에대해 상수이므로 x=sigma (n=b+1→inf) b!/n!임을 알수 있고
이는 1/b+1+1/(b+1×b+2)+......임을 알수 있고
x의 모든 항은 따라서 1/(b+1)^(n-b)1보다 작음을 알수 있음
따라서 x<sigma (n=b+1→inf 1/(b+1)^(n-b)로 표현 가능하고
이는 x<sigma (k=1→inf) 1/(b+1)^k라는 등비수열 급수로 정리가 가능하고
등비수열 급수의 계산 공식을 이용해서 (1/(b+1))/(1-(1/(b+1))=1/b임을 알수있음
따라서 x<1/b이라는 결론을 얻어내는데
이는 위에서 구한 x가 양의 정수라는 조건에 모순이다
따라서 첫번째 가정 e=유리수가 잘못되었음을 증명할수 있음
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기호로 안 써있어서 가독성 떨어짐