Group G, G의 index 2 subgroup H, H의 index 2 subgroup I를 생각하겠습니다.
index가 2이므로 자동적으로 각각 normal이 됩니다.
그리고 map pi: G->G를 a->a^2 로 보내는 맵을 생각하겠습니다.
일반적으로 그룹 G의 모든 원소 g에 대해 g^2은 모든 index 2 subgroup안에 포함되므로
map pi 는 , G->H, H->I 로의 map입니다. 따라서
G/H -> H/I 라는 map 을 induce 할 수있습니다. 각각은 Z/2Z랑 isomorphic 할 것이구요.
질문 : 이 map을 isomorphism이라 할 수 있습니까? 아니면 반례가 있습니까?
맞지않나? 애초에 0을 0으로 1을 1로 보내게 될거같은데
0을 0으로 보내는것은 확실한데, 1이 0으로 안간다는 보장을 어떻게 해야할지 G안에서 H밖에 있는 원소를 제곱했을때 I에 안들어간다는 보장을 어떻게
해야할지를 모르겠네요
그럼 pi가 G/H에서의 well defined 되어있는지의 문제에 가까운데 음 잠만
Z2 의 3제곱 앞에가 0인거 앞에 두개가 0인거 연산은 덧셈으로하면
반례를 찾아주신건가요?
반례가 되는군요 감사합니다
g^2이 H에 포함된다는 보장이 없잖아 Pi : D2n -> D2n, H=collection of reflections 라고 둬봐
D14 -> D14 에서 H는 order가 2인 애들 모두 모아둔건데 r^2 은 gcd(2,7)=1 이니까 order가 7이지? H에 포함 안됨
g^2은 항상 index 2 인 subgroup안에 들어가는뎅
글을 잘 읽어보셈 pi : G -> H 가 된다고 적혀있음
pi 가 a를 a^2로 보내는 맵이고, H be a subgroup of index 2 in a group G일때, g^2∈H for all g∈G 니까 글케 쓴건 문제없는거아냐?
index 2인 subgroup이 한개만 있는게 아니잖아
내가 예시로 든 dihedral group을 잘 생각해봐
S를 set of square element in G 라고 할때 S는 G의 모든 index 2 subgroup 안에 들어감. 그래서 index 2 subgroup이 두 개 이상 있더라도 저렇게 쓰는건 가능함
아 reflection을 모두 모아놓은게 group이 안되네
왜 리플렉션의 제곱의 order를 7이라 썼는지 잘모르겠는데... 리플렉션의 제곱은 identity니까 order 1아니냐?
r은 rotation의 r 이고 reflection 모임이 generate 하는 군이 전체군이라 내가 말한 예시는 적절하지 않음
아 rotation얘기였구나 쨰뜬 니가말한것처럼 일반적으로 그룹 G에서 오더2 elt들 다모아놓으면 걔는군이안됨
[a^2]=0 in G/H 니까 a^2 은 H에 포함되는게 맞군 증명이 바로 안떠올라서 헷갈렸음