[일반] 비유클리드 기하학에서는 원주율의 값이 다름?

[네모누리(nemonuri)]

학교에서는 원주율 π의 정의를 다음과 같이 배우잖아?

π := (임의의 한 원의 둘레 길이) / (그 원의 지름 길이)

질문1)

그렇다면 

(임의의 한 원의 둘레 길이) / (그 원의 지름 길이)

값이 유클리드 기하학과는 다른 비유클리드 기하학에서는 

원주율 π의 값도 달라짐?

질문2)

질문1의 답이 '아니오' 라면,

ZF 공리계를 따르는 수학에서는

원주율 π 를 어떻게 정의함?

혹시 수학 세부 분야마다 정의하는 법도 다름?

[수갤러 1(211.235)]

1. 원주율 = 원둘레길이 / 지름 길이는 달라짐. 그러나 pi는 정해진 실수(보통은 삼각함수의 역함수로 주어짐)이므로 어디서든 같음. 2. 원주율 = pi는 유클리드기하에서만 성립. 그 외에서는 원ㄴ주율이 pi값이 아닌 다른 값이 될 수 있음.

[네모누리(nemonuri)]

아하. '원주율'과 수학 상수 'π' 는 엄밀하게는 다르구나. 근데 나는 학교에서 삼각함수의 정의를 '직각삼각형의 각 변의 길이'와 관련된 연산으로 배웠어. 비유클리드 기하학에서는 '직각삼각형'도, '삼각형 변의 길이'도 달라지잖아? 그럼 삼각함수는 어떻게 정의되는거야?

[수갤러 2(183.96)]

닮음 이라는 것 자체가 유클리드 기하학에서만 성립하는 내용임.

[수갤러 1(211.235)]

삼각함수는 일반적으로 taylor series로 정의함. 삼각함수를 길이비로 정의한다면 기하마다 달라질 수도 있겠네. 어떤 정의를 채택하냐의 문제

[수갤러 2(183.96)]

비유클리드 기하학에선 아예 지름에 대한 원의 둘레의 비율이 상수가 아닐 수 있음

[네모누리(nemonuri)]

생각해보니 그렇네. 상수 π가 어떻게 정의되는 지 점점 더 궁금해지는데.

[수갤러 2(183.96)]

그냥 유클리드 기하학적인 원에 대한 지름의 비율이라고 정의하면 됨. 삼각함수의 주기의 절반으로 정의해도 되고 급수를 사용해 정의할 수도 있음

[네모누리(nemonuri)]

ZF 공리계 만으로 상수 π 를 정의해야 한다면, 무한급수로 정의하는 게 가장 쉬울 것 같네. 다들 고마워!

[익명(119.67)]

PMA를 보면 테일러급수로 삼각함수를 정의하고 그 반주기로 pi를 정의하는 걸 볼 수 있음. 왜 그렇게까지 하나 싶긴 한데 생각해보면 나름 합리적인 정의임.

[네모누리(nemonuri)]

역시 해석학에서는 상수 π 를 원이 아니라 테일러 급수 및 주기로 정의하는구나. 해석학의 정리들로 상수 π를 정의하기도 전에 '유클리드 기하학적인 원'을 정의하는 건 인간적으로 비효율적이니까.

[수갤러 3(223.39)]

관점이 신선하고 흥미롭네. 원은 거리공간마다 바뀌는걸 알고 있었지만 원주율까지는 생각 못해봄. 어떤 공간에서 원주율이 잘 정의될까? 그러니까 둘레의 길이가 지름과 비례할까?