현대 수학에서는 자연수를 보통 다음과 같이 정의하는 것으로 알고 있음
0 := {}
1 := {0}
2 := {0,1}
...
갑자기 현대 수학에서는 정수를 어떻게 정의하는지 궁금해서 찾아봤는데,
영문 위키백과(링크)에서는
다음 성질을 만족하는 자연수 순서쌍의 동치류로 정의한다고 써 있네.
예시도 가져옴:
질문)
자연수와 정수의 정의가 위와 같다면,
'자연수는 정수의 부분집합이다'는
거짓인가?
(위에서 내가 언급한 모든 수학 명제는 ZF 공리계를 전제로 함)
자연스러운 임베딩이존재함
자연수와 1대1대응 되는 {[(1,0)],[(2,0)],...}을 부분집합으로 가짐. 해당 1대1대응은 연산또한 보존함
그래서 정수 만든 다음에는 정수의 저 부분집합을 자연수라 부르기로 하는거임. 유리수,실수,복소수 만들고 그 부분집합으로서 각각 정수,유리수,실수같은거 생각할때도 마찬가지방법으로 생각함.
아하, 그런 방법이 있구나! 마치 빛의 속력을 미터법으로 정의한 다음에 1m를 빛의 속력 기준으로 다시 정의하는 것 같네 ㅋ
정의가 그렇다면 당연히 부분집합이 아니지. 대신 [(n,0)] 꼴 을 모은 집합을 N' 이라고 하면 N과 N' 이 동형이고 N'은 Z의 부분집합이지. 즉, Z는 N과 동형인 부분집합을 가짐.
답변 고마워!
좌표평면에 그려보면 저 부분집합을 지나는 직선의 절편이 각각 하나의 정수에 해당함을 알 수 있음.
그러네. 마침 위키백과에 그림이 있어.
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer#/media/File%3ARelative_numbers_representation.svg