[일반] G/H의 order가 power of n을 나눈다는게 대체 뭔소리임?

[고릴라지망생(211.228)]

랭 lemma 6.1에서 막힌 부분인데 아무리 인터넷 뒤져봐도 induction에 의해서 해결된다는 말밖에 없네 쉽게 이해되는 점인거 같은데 왜 나만 막히는건지 도저히 이해가 안됨;

exponent가 n이면 그냥 order의 배수기만 하면 되는 거 아님? subgroup에 대한 induction을 대체 어떻게 쓰는거임?

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[수갤러 1(211.234)]

귀납법의 가정에 의해서. |G|에 대해 귀납법을 적용한다 생각하면 |G/H|<|G|일거아님.

[고릴라지망생(114.206)]

ㅇㅇ 그거까진 당연한거 같은데 거기서 그다음이 왜나오는지 모르겠음 - dc App

[수갤러 2(27.168)]

저 부분이 보이고자 하는 게 "G/H에 대해 성립하면 G에 대해서도 성립함"임. 그래서 G/H에 대해 명제가 성립함(귀납법의 가정)을 전제하고 있음.

[고릴라지망생(114.206)]

그러면 G/H의 order가 power of n을 나눈다는건 걍 전제인거임? 근데 "G has exponent n"에서 그 전제가 어케 이어지는지 모르겠음 - dc App

[수갤러 2(27.168)]

감 못잡는거같아서 걍 새로 써줌... 보이고 싶은 건 'G가 exponent n을 가지면 G의 order가 n의 거듭제곱을 나눈다'임. 이 명제를 P(G)라고 씁시다. 먼저 G의 order가 1이라면 명제는 자명하게도 참임. 만약 G의 order가 1이 아니라면? 1이 아닌 G의 원소 b를 잡을 수 있음. H를 b가 생성하는 부분군이라 하자. 그러면 G보다 order가 작은 G/H를 생각할 수 있게 되고, G가 n을 exponent로 가지기에 G/H도 exponent n을 가짐. G/H를 G1이라 쓰겠음. 그러면 비슷하게 G1으로부터 G2를 만들 수 있고, 또 G3, G4, ... order가 1인 군이 나올 때까지 반복할 수 있음(G가 유한군이므로 언젠간 끝날거임). 그럼 "P(G/H)이면 P(G)"를 보

[수갤러 2(27.168)]

이는 것으로 P(G)를 증명할 수 있음. Gn의 order를 1이라 하면 P(Gn)이 성립하므로 P(Gn-1)이 성립하고, 죽 이어져서 P(G1)과 P(G)도 성립하거든 (이 부분이 귀납법). 이제 P(G/H)를 가정하면, (G:1)=(G:H)(H:1)인데 (H:1)이 n을, (G:H)이 n의 거듭제곱을 나누므로 (G:H)가 n의 거듭제곱을 나눔.

[고릴라지망생(223.39)]

그런식의 귀납법일줄은 상상도 못했네; G/H 안에 다시 cyclic subgroup을 또 만든다는 생각은 진짜 살면서 한번도 못해봤다.. abelian이라는 전제를 괜히 준게 아니노 이상한 포인트에서 막힌거 같네 정말 고맙다 새로운 증명을 또 익혀가네 - dc App

[수갤러 3(104.28)]

잘 이해한거 맞냐? |G| = np이하 작을때 성립하면 |G|=(n+1)p일때 G/H가 더 작은 '군' 이도록 만들어주는 장치가 abelian인거야

[고릴라지망생(39.121)]

ㅇㅇ abelian에 의해서 계속해서 작은 군을 만들 수 있다는 건 이해됨 근데 계속해서 by induction이 종종 나오는데 님이 언급한 식으로 시도해보니 되긴 됨 랭도 이걸 의도한 거겠지? - dc App

[MetaFibonacci(equivalence)]