교수님 선형대수 수업하면서
field 부분 설명하면서
{a+b*2^(1/2) : a,bㅌQ}는 field지만
{a+b*2^(1/3) : a,bㅌQ}는 field가 아니라고
multiplication에 대해 closed가 아니기때문이라고 하셨는데
이걸 증명을 해보려고하다보니
2^(2/3)=a+b*2^(1/3)인 두 유리수 a,b는 존재하지 않는다
를 보여야되더라고요
근데 아무리 해봐도 저게 증명이 안되던데
정수론적 지식이 필요한 부분인가요?
- dc official App
양변 세제곱하면 되는거 아님?
그게 처음시도한 접근인데, 모순을 끌어내는게 안되더라고요 - dc App
그래서 a,b를 전부 q/p , s/r로 변경후 정수방정식으로 풀어보려고했는데 이러면결국 pr*2^(2/3)=qr+ps*2^(1/3)이라 렘마를 n*2^(2/3)=m+k*2^(1/3)인 0이 아닌 정수 n,m,k는 존재하지 않는다로 설정하고 풀려했는데 이 렘마를 증명하려고 세제곱해봣을때 정수부정방정식이 나오더라고요 그냥 유리수 a b로 하고풀면 필요조건에서 세제곱해도 모순발생이안돼버려서 저리햇는데.. - dc App
2^(2/3)=a+b*2^(1/3) 가정,양변 세제곱 시 4=a³+2b³+3ab*2^(1/3)(a+b*2^(1/3)) 가정에 의해 4=a³+2b³+6ab 인 유리수 a,b가 존재하냐? 인데 이는 이런 유리수 a,b 자체는 존재하는데 그 유리수들이 a+b*2^(1/3)=2^(2/3)를 만족하지 않는거라, 필요조건에서 거짓을 끌어내 모순발생이 안되더라고요 - dc App
지금보니 필요조건 얘기가 아주 이상한데 왜 모순이 안생긴단거임?
아 a³+2b³+6ab=4가 b=f(a)꼴로 정리되는거로 문자잘못봣네.. 필요조건 얘기한거는 만약 4=a³+2b³+6ab인 유리수 a,b가 존재한다고 가정해도, 그 유리수 a,b가 모두 2^(2/3)=a+b*2^(1/3)을 만족하지 못하기만 하면, 본 명제의 증명에 영향을 끼치지 못한다는 의도로 말한거엿음 - dc App
근데 만약 그런 유리수 a,b 조차도 없다면, 바로 모순임을 보일 수 잇으니까 그게 필요조건을 이용한 증명이라고 봐서그렇게 얘기했음 - dc App
4=a³+2b³+6ab인 (a,b)를 한 쌍만 찾으니까 뭘 못하지 저걸 만족하는 모든 쌍을 확인하는건 시도 안했음?
ㄴㄴ 문자잘못봐서 하나 찾은줄알았는데 지금보니 하나도찾기힘듦 있는 지 없는 지도모르겠는데 - dc App
세제곱이 아니라 제곱을 해야함 t=2^⅓, t^2=a+bt로 두면 a≠0이고 2t=t^4=(a²+ab²)+(2ab+b³)t에서 a=-b², 2=2ab+b³ 그래서 유리수 b가 (-b)³=2가 되어 모순임
제곱을 해야간단히 풀리네.. 세제곱해서 나온 방정식 풀 방법은 없는거려나 - dc App
세제곱 해서 풀었습니다. 약간 길긴 한데 정수론적 지식이 별로 필요하지 않으니 적어보겠습니다.
여러번 적기 귀찮으므로 편의상 2^(1/3) 을 y라고 적겠습니다. 만약 4^(1/3)=a+by 를 만족하는 유리수 a,b가 존재한다고 합시다. 그러면 양 변을 3제곱하면 좌변은 4가 나오고, 우변을 y에 대해 정리해보면 유리수 부분은 (aaa+2bbb), y에 관한 항은 3aaby, yy에 관한 항은 3abbyy가 나오게 됩니다. 이 때, 처음 조건인 yy = a+by를 다시 대입하면, yy에 관한 항 3abbyy가 3abb(a+by)가 되므로, 결국 우변을 정리하면 (유리수항)+(y에 관한 1차항)이 나옵니다. 구체적으로 써보면, 4 =(aaa+2bbb+3aabb) + (3aab+3abbb)y 가 됩니다.
따라서 y = (4-aaa-2bbb-3aabb) / (3aab+3abbb) 인데, 좌변은 유리수가 아니고 우변은 유리수 이므로 모순입니다.
마치 '루트2가 유리수가 아님을 증명하여라' 같은 느낌으로 증명했습니다.