field extension에서 이제 막 finite field 넘어왔는데
정리중에 E is finite field of char p, then E contains exactly p^n elements for some positive integer n 이라는 정리의 증명이
every finite field E is a finite extension of a prime field isomorphic to the Z_p 이게 끝인데
char p를 갖는 모든 finite field가 Z_p의 finite extension 이라는건 자명한건가요? 제 생각엔 이 증명조차 증명이 필요해보여서요..
정리중에 E is finite field of char p, then E contains exactly p^n elements for some positive integer n 이라는 정리의 증명이
every finite field E is a finite extension of a prime field isomorphic to the Z_p 이게 끝인데
char p를 갖는 모든 finite field가 Z_p의 finite extension 이라는건 자명한건가요? 제 생각엔 이 증명조차 증명이 필요해보여서요..
임의의 field는 char이 0이면 Q, char이 p이면 F_p와 동형인 subfield를 가짐
field의 성질을 다시 한번 찾아봐
아 네네 char에 따라 2개 prime field에 동형인 subfield가 있는건 아는데 왜 finite extension이어야 하냐는 질문이었어요
char p인 finite field F만 보고서 n-dimensional vecor space over F인 Z_p의 extension field를 생각한다는게.. 어떤 정리도 쓰지않고 바로 얘기하기엔 너무 비자명한거같아서요 ㅠㅠ
체가 1은 가지고 있을 테니까, 이걸 더해 나가면...
fraleigh 보는가보네? Corollary 33.2지? ㅋㅋㅋ 그부분을 좀 더 설명해주자면 일단 F가 Z/pZ를 subfield로 갖는다고 해보자 그럼 일단 < F*, × > 는 cyclic이므로 F*=(a) (a는 generator) 로 둘 수 있겠고 a는 Z/pZ상에서 algebraic임과 F=Z/pZ(a)임을 얻게될거야 즉, F가 Z/pZ의 finite extension이 된다는걸 알 수 있겠지
프렐라이 맞아요 감사합니다!!
finite field니까 원소가 유한개고 어떤 subfield를 가져와도 그거에 대한 degree가 원소 개수 이하니까 finite extension이지 원소 개수부터가 유한하니까 자명한 얘기가 됨
확대체는 소체 (소체는charF=0, 이거나 어떤 소수p에 대해 charF=p) 위에 벡터공간으로 보는 편인데 이런 벡터공간을 구성할 때, 환 준동형사상을 잘라서 몫환으로 확대체를 구성하는 편임. (다른방법이 있는지는 몰?루) 환 준동형 사상f을 생각해보면 f(0) = f(0+0)=f(0)+f(0) f(1)=f(1)f(1)
따라서 정의역의 덧셈 항등원은 공역의 덧셈항등원으로 대응해야만 하고 정의역의 곱셈 항등원은 공역의 덧셈항등원 또는 곱셈항등원으로 대응해야함
또한 정의역F에 대해 charF=p라면 f(p)= f(1+1+...+1)=f(0)이므로 치역역시 CharE=p가 됨을 알 수 있음.
즉 Z_p의 확대체E는 charE=p이고 유리수체Q의 확대체는 charE=0임. 그러니까 유한체의 charE=p일 수 밖에 없음.