전에 every finite field E is a finite extension of a prime field isomorphic to the Z_p 에서 왜 저 extension이 finite extension이어야 하냐? 라고 물어봤었는데요, 이거에 대해 생각하다가 추가 질문이 생겨버렸어요.
1) finite field E가 finite field F의 extension field라고 할때, E의 extension degree가 무한이 될 수 없다 로 결론을 내리고 싶었는데, 얘는 해결이 됐습니다.
2) 1번을 생각하다 보니, 제가 extension degree가 무한인걸 본 적이 없는 것 같은데, F: field, a in E is algebraic over F일때, deg(a,F)=inf가 될 수 있나요?
선대에서 무한차원 벡터공간이야 본 적이 있는데, 근을 가지는 polynomial의 차수가 inf일 수 있을까? 가 궁금해져서 검색을 하고싶은데 뭐 어떻게 쳐 봐야하는지도 모르겠고..해서 도움좀 구해봅니다.. 답변 미리 감사합니다
Q (또는 다른 finite field, 또는 얘내들의 finite extension)를 생각하고 걔의 algebraic closure 가져오면 무조건 degree는 무한해져요. polynomial의 차수는 무조건 유한해야되요, 하지만 여러개의 polynomial을 생각할 수 있죠
엥 extension degree는 irr(a,F)의 차수 아닌가요? 어케 poly의 차수가 유한인데 extension degree가 무한이라는건지..
아.. 그냥 field extension의 차수라고 생각하고 댓글 달았네요. a in E is algebraic over F라는 말 자체가, 적절한 polynomial f in F[x]라는 말이고, polynomial은 반드시 차수가 유한해야되요 그래서 deg(a,F)는 반드시 유한합니다.
아 polynomial ring의 by def같은 느낌인가요?
아.. 계속 이상하게 댓글을 달고 있네요,,, 찰떡같이 이해해줘서 고마워요, "a가 적절한 polynomial f in F[x]의 해 라는 말이고" polynomial 의 정의에 의해서 차수는 유한한 값으로 주어져요.