(14시 05분 내용 수정)
연속체 가설을 느슨하게 표현하면 다음과 같잖아:
"집합의 크기가 자연수보다 크고 실수보다 작은 집합이 존재하지 않는다."
그렇다면"ZFC + (연속체 가설은 거짓)" 을 전제로 하는
이론 중 하나를 다음을 포함해 설명해 줄 수 있어?
1. 연속체 가설의 반례가 되는 집합의 예시
2. 1의 예시가, 인간적으로 무엇을 의미하는가?
(14시 05분 내용 수정)
연속체 가설을 느슨하게 표현하면 다음과 같잖아:
"집합의 크기가 자연수보다 크고 실수보다 작은 집합이 존재하지 않는다."
그렇다면"ZFC + (연속체 가설은 거짓)" 을 전제로 하는
이론 중 하나를 다음을 포함해 설명해 줄 수 있어?
1. 연속체 가설의 반례가 되는 집합의 예시
2. 1의 예시가, 인간적으로 무엇을 의미하는가?
가정을 증명한다는거아니노
가정에 그 구체적인 S가 무엇인지는 없잖아
왜그래야하지. 차피 ZFC만가지고는 못만드는거 알테고. 추가가정으로 존재성 보장된 녀석을이용해서 또다른 녀석을 내놓는거밖에 말이안되는데 그렇게만들어봐야 처음 존재한다 말한 그녀석이 뭔지 모르면 무슨소용인지 잘 모르겠음
그렇네. 내가 애초에 질문을 잘못 했구나. "¬CH" 의 예시를 물어봐야 했어. 글 수정할게.
그걸 ZFC로 못만들어내는데 예시라는게 있다한들 우리가 다루는 대상을 한참 벗어난 녀석이아닐까요. 윗댓에 말한것과같은. 나도 자세힌 모르지만 이상한걸 찾고있는것같은 느낌임
공리 바꿔가며 새로운 공리계에서 뭔가를 해본다는게 이상하다고 표현한거같네.. 그건아니고 주로 그동안 받아들여온 애들과 많이 다른애들이 나오는게아닌가 싶어서
질문을 수정하고 보니, 확실히 이건 수학의 영역의 벗어난 질문이네...
그 반례집합을 구성해낼 수 있으면 공리까지 갈 필요도 없지 않을까 어차피 반증도 불가능한데
?
반례 잡을수 있음 omega 1이라는 first uncountable ordinal 을 잡으면 (countable 보다 큰 가장 작은 uncountable ordinal) 연곡체 가설이 참이라면 얘는 c(continuum)과 같고 거짓이라면 omega1은 c보다 작음. 결국 연속체 가설이라는것은 서로 다른것 처럼 보이는 cardinal들이 어디까지
같다고 인정해줄것이냐 에 대한 argument 임
그렇기 때문에 연속체 가설을 부정하는게 자연스러움 흐름이라고 생각함. omega1이 c와 같아야 할 이유가 없기 때문에
비슷한 논증이 proper class에도 있음. axiom of limitation of size라고 서로 다른 proper class들의 크기 순서가 어떨까? 라는 궁금증에서 시작됨. 이 axiom은 모든 proper class들은 서로 1대1 대응이 된다, 즉 모든 proper class들의 크기는 같다라고 주장함. 결국 이 문제도 서로 달라보이는
proper class들 간의 크기 관계를 어떻게 볼것인가 이고 달라 보여도 결국 같은 크기라고 인정가능하자는 axiom이지. 이 axiom은 axiom of global choice를 내포하는데 나는 lim.size가 좋은 확장이라고 생각하지 않기 때문에 global choice도 존재하지 않는다고 생각함.