F가 field고 F'이 F의 subfield일때
F의 곱셈에 대한 항등원 1_F와
F'의 곱셈에 대한 항등원 1_F'이 같음을 보이는 건데
먼저 field의 곱셈에 대한 항등원은 유일함을 증명했고,
그다음이 문제입니다
1_FㅌF가 모든 aㅌF에 대하여 1_F*a=a를 만족시키므로
모든 a'ㅌF'에 대하여도 1_F*a'=a'이 성립함.
field의 곱셈에 대한 항등원이 유일하니 1_F=1_F'이다 라고 했는데 틀렸다는거에요..
어디가 잘못된건지 도저히모르겠는데 알려주실분있나요
- dc official App
한가지 언급이 더 필요해요. 1_F가 F’의 원소라는 말이 있어야 그 결론을 낼 수가 있어요 - dc App
아 그거를 따로 증명을 해줘야되는군요..감사합니다 - dc App
음 혹시 이렇게증명하면 될까요?F'이 F의 subfield이고,F와F'는 field므로 적어도 2개이상의 원소를 가져야한다. 따라서a'ㅌF' s.t 덧셈의항등원 0_F'과 다른 a'1/(a')ㅌF' s.t a*(1/(a'))=1_F'그런데 a'과 1/(a')은 동시에 F의 원소므로a*(1/(a'))=1_F도 성립하여1_F=1_F'이 됩니다.문제없을까요? - dc App
a'과 1/a'은 F'의 원소고 F'이 F의 subfield니까 동시에 F의 원소죠? "역원"은 유일하기 때문에 a'*(1/a')은 F의 두원소 역원끼리곱한거니 F의 곱셈항등원 1_F도 나오는게맞는거아닌가요 - dc App
아 이거도 그 역원이 1F로만드는 역원 1F'로만드는 역원 다를가능성 규명안해서 그런가;; - dc App
1_F’*(1_F’)^-1=1_F 1_F’과 그 역원은 F’의 원소이고 곱셉에 대한 닫힘에 의해서 1_F는 F’에 속함. - dc App
1_F' * 1_F 을 잘 쳐다봐봐 cancellation 이 어딘가에는 들어가야됨
환에서 곱셈 항등원이 부분환의 곱셈(원래 환과 동일한 연산) 항등원이 다를 수도 있음.