함수 f:S*S -> S가

교환법칙 f(x,y)=f(y,x)
결합법칙 f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
을 만족하고
f(x,y)=x+y라 표기하자.

임의의 자연수 n에 대하여
S의 원소 n개 x_1,..x_n이 임의로 주어졌다고 가정하자.

g:S^n -> S 는

g((x_1,x_2,...,x_n))=((..(x_1+x_2)+x_3)+..)+x_n))..))
를 만족하고

x_1,..,x_n으로 만들수 있는 모든 순서쌍의 집합을 T라 하면

h:T->S
T에 속하는 임의의 원소 t에 대하여
h(g(t))의 값이 항상 같은 상수함수이다.

즉 순서를 "임의로 다바꿔도" 식이 성립한다

일반적으로 어떻게 증명함?
2개일때 되는거로 확장한다는 건 알겠는데
이게확장을 일반적으로 다된다고 "엄밀히증명"하기가 너무힘든거같아서.

예를들어 당장 3개만 되어도
(x+y)+z=(x+z)+y=(y+z)+x=(y+x)+z=(z+x)+y=(z+y)+x
를 다 증명해야하고

4개이상부터는 x y z w가 서로 순서바꾸는 거 뿐만아니하 괄호치는 순서까지도 다고려해서 증명을 해야되는 미친 상황이 벌어짐

같은 순서라도

(x+y)+(z+w) = (x+(y+(z+w)) = (x+((y+z)+w))=..

등 괄호순서가 다다른데 이거에대해서도 다증명해줘야되고

n이 커지면 커질수록 이런 경우수는 무수히 많이 늘어나서 일반적으로 엄밀하게 증명하는게 너무어려운거같은데

대충 2개에서확장하면 임의n개에서도 다된다의

"정말로 아주 엄밀한 수학적 증명"이 있는 지가 궁금함

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