filed F에서 정의된 벡터 공간 V의
서로다른 벡터 v_1,..,v_k에 대하여
span{v_1,v_2,...,v_k}
={a_1v_1+..+a_kv_k : a_iㅌF} 임을 증명하라는데
뭘 더 어떻게 증명하라는거?
책에서는
span(S):={a_1s_1+...+a_ns_n : nㅌN,a_iㅌF,s_iㅌS}
로 정의되어있는데..
책에서는
{a_1v_1+..+a_kv_k : a_iㅌF)ㄷspan{x_1,..,x_k}는
자명하고 반대쪽 포함관계를 보이라 돼있음
정의대로 하면
span{v_1,..,v_k}={a_1x_1+..+a_nx_n : nㅌN,a_iㅌF,
x_iㅌ{v_1,..,v_k} 인데
a_1x_1+..+a_nx_n에서 가능한 조합이 결국
다더하면 v_1,v_k모두 사용하고
중복하여사용한건 벡터공간원소니까 결합돼서
하나스칼라곱*벡터로 표현되니
v_1,..,v_k k개와 스칼라a_1,..,a_k 곱의 합으로 모두표현된다
이렇게 말로밖에 증명못하곗는데 뭘 더 어떻게
엄밀하게 증명하라는 건지 모르겠음
- dc official App
tㅌspan{v_1,..,v_k}=> t=a_1x_1+...+a_nx_n ,a_iㅌF,x_iㅌ{v_1,..,v_k}A_i:={ m ㅌ N : x_m=x_i} 로 정의하면t=sum alphaㅌA_1 (a_alpha)x_1+...+ sum alphaㅌA_k (a_alpha)x_k가 성립 (벡터공간원소니 덧셈교환 자유로움)sum alphaㅌA_i (a_alpha)는 F의 원소므로 덧셈에 닫혀잇으니 다시 F원소.따라서 정의에의해 tㅌ{a_1v_1+..+a_kv_k : a_iㅌF}성립 뭐이렇게하려나 - dc App
linear comb. 정의에 따라 당연한거같은데 - dc App
사이에 V 끼워넣러서 보면 span set이 V가 되고 V의 부분집합이 오른쪽 셋이네 - dc App
역시 그 말로 밖에 못하겠다 한 부분이 메인이지 말로 했던건 a_1x_1+..+a_nx_n=b_1v_1+..+b_kv_k인 b_i를 찾을 수 있다 말하는거고 윗댓처럼 b_i를 x_j=v_i인 j들에 대한 a_j의 합으로 정의해주면 됨 아님 귀납적으로 a_(n+1)x_(n+1)을 더해도 항상 b_1v_1+..+b_kv_k 꼴으로 쓰는게 가능하다고 보여도 되고