[일반] quotient group 관련 질문

[익명(27.100)]

schreier thm의 예시를 보다가 질문이 생겼는데..하 왜 여기까지 올 동안 이런것도 모를수가 있는지 ㅠㅠ
예시가
(0)<8Z<4Z<Z와 (0)<9Z<Z 사이의 isomorphic refinement를 찾으면
(0)<72Z<8Z<4Z<Z
(0)<72Z<18Z<9Z<Z 인데 여기서 질문이
Z/9Z~Z_9인건 아는데
8Z/72Z=(72Z,8+72Z,16+72Z,•••,64+72Z)와 Z_9사이의 isomorphism을 만들어보려고
f:Z_9-->8Z/72Z를 0은 72Z에 대응되게, 1은 8+72Z에 대응되게 이런식으로 만들어보면(f(a)=8a+72Z) 얘는 hom조차 아니게되는데 분명 어떤 불규칙?적인 순서로 대응을 시키면 iso가 되게 할 수 있을거같은데.. 이걸 어케 검색해야할지도 머르겠고.. 해서 일반화를 해놓고싶은데
nZ/nmZ~Z_m (m,nㅌZ+)가 될까?

[수갤러 1(175.208)]

finite abelian group of order 9니까 Z_9 거나 Z_3 * Z_3이겠지. Z_9일 거라고 베팅한다면, cyclic이니까 generator를 generator로 보내야 isomorphism이 되잖아. 그러니 8Z/72Z의 generator가 무엇일지 계산해 보면 될거야.

[수갤러 2(110.35)]

아니 잘 만들어놓고 왜 hom이 아니라고 생각하는건데 불규칙은 뭔 불규칙이야

[익명(27.100)]

f(a)=8a+72Z면 f(a+b)=8(a+b)+72Z=/(8a+72Z)(8b+72Z)=64ab+72Z니까 hom아닌거 아닌가요?

[수갤러 3(110.35)]

덧셈군에서 왜 곱셈 쓰고있냐고

[익명(27.100)]

다른 연습문제에서 제가 생각한 대응과 다르게, 이상한 순서로 대응되게 했을때 iso가 되는걸 봐서 불규칙적인 대응으로 iso를 만들 수 있다 라고 생각했어요