[대학교이상] 위로유계+강한단조증가 '유리수 수열' 은 Q에서 항상 코시인가요?

[익명(175.196)]

Walter Rudin의 PMA 2페이지를 보면,
모든 항이 유리수이지만 수렴값이 루트2 인 수열이 나옵니다.
이걸 공부하다가 다음과 같은 생각을 했습니다.

우리가 실수의 집합 R에서는
"위로 유계 (bounded above), 강한단조증가 (strictly monotone) 인 수열은 항상 수렴한다"
는 것을 증명을 통해서 알고 있고,
이를 증명하는 방법은 보통 '유계들의 집합을 놓고, 그 유계들의 집합의 infimum은 항상 실수로 존재한다' 라는 공리를 이용하고서는
'바로 이 유계들의 infimum 이 우리가 구하는 극한값 L이다.' 라는 것을 증명을 하곤 합니다.


헌데 저는, 실수의 집합 R이 아니라 유리수의 집합 Q에서를 생각햇습니다.
그러면 위에 말한대로
1) 모든 항은 유리수
2) 항상 증가 (strictly monotone increasing)
3) 위로 유계 (bounded above)
4) 하지만 유리수에선 수렴값이 존재하지 않음.
이런 수열이 존재합니다.

이런 수열이라도, Q에서 코시일 것 같은데, 이걸 제 능력으로는 증명하기가 쉽지 않네요.
유계들의 집합을 놓는다 하더라도 그 집합의 infimum이 존재한다고 보장을 할 수 없기 때문입니다.

일단 제 주장이 참인 것 같은데, 이걸 증명하려면 어떻게 해야할까요?

[수갤러 1(119.202)]

bounded monotone인데 cauchy sequence는 아닌 유리수 수열 {q1, q2, ...}이 있다고 가정하면, 적당인 e가 있어서 어떤 큰 N을 잡더라도 n,m >N이고 |qn-qm|>e가 되는 qn, qm이 있다는 말이라서 subsequence를 잘 잡으면 q_{an+1} > q_{an} + e가 되게 할 수 있어서 bounded에 모순이 생길듯

[수갤러 1(119.202)]

q_{an+1} > q_{an} + e가 아니라 q_a{n+1} > q_a{n} + e

[익명(175.196)]

좋은 아이디어네요. 세부적으로 적어봐야겠지만 아마 이 아이디어에서 크게 벗어나질 않을 것 같습니다. 아주아주 크게 보면 유리수가 Archimedean property는 성립한다는 것에서 아이디어가 출발했군요. 감사합니다!

[익명(112.152)]

그냥 실수에서 놓고 보면 단조수렴정리에 의해 수렴하고, 따라서 실수 위에서 코시인데, 수열이 코시이고 아니고는 실수에서 생각하나 유라수에서 생각하나 달라질 리가 없으니 코시수열임

[익명(175.196)]

이거 생각은 해봤는데, 결국 '실수에서 코시이면 유리수에서도 코시이다'를 뻔해보이지만 또 증명해야해서 (처음에는 좀 어렵다고 생각했지만, 지금 생각해보니 위의 댓글처럼 Archimedean property 사용하면 될거 같습니다만...) 확신까지만 가지고 해보진 않았습니다. 그래도 이 방법으로도 할 수 있어야했는데 아직 제가 그정도 실력은 되지 못했나봅니다. 무엇보다도 실수에서의 성질을 되도록이면 사용하지 않고 하려고 해서 아이디어가 혹시 없나 싶어서 여쭤봤습니다.

[익명(112.152)]

그건 코시 정의에 의해 당연한거임 모든 실수 e>0에 대해서 코시 식이 성립하면 실수에서 코시고, 모든 유리수 e>0에 대해서 성립하면 유리수에서 코시인데 당연히 전자가 후자를 논리적으로 포함하겠지

[익명(175.196)]

아 생각해보니 그러네요. 조언 감사합니다!

[Affine(algebra500)]

잘했음 완비성공리는 모든 코시수열이 수렴한다는거랑 같은말이니 아주 좋은 호기심이었다고 생각함

[익명(175.196)]

감사합니다. 세세하게 써보겠습니다.