과거 서울대학교 신입생 수학 성취도평가입니다.
흔히들 치환적분에서 dx dt등을 "수"로 취급하고
인테그랄에 붙은 dx dt도 "수"의 곱셈이 된거처럼 취급하는데
그런 테크닉 다 배제하고
int f(g(t))g'(t) dt = int f(x) dx if x=g(t)
이 교과서의 유일한 정의 한줄만으로는
이 문제를 대체 어떻게해결해야합니까?
저 dx dt를 수취급하는 테크닉말고는
교과서의 정의만 사용하여 풀 길을 못찾겠습니다.
서울대 공식해설도 int e^(-t) 2t dt/dx dx 에서 수취급해서
dx를 없애고 dt만 남기는 식의 해설을 해버리는데..
저 교과과정상의 정의로만은 못푸나요?
- dc official App
dt=d(sqrt x)=1/(2 sqrt(x))dx 니까 dx=2tdt. 이건 고등학교에서도 하는건데;; 그냥 귀찮으니가 저렇게 한 듯? 다를거 없음.
https://youtu.be/AmmDRKiwZfw?si=rU6wvB6csJ6MKq5u
이
강사는 수 취급하는거 오개념이라고 교과서정의제대로보라고 역설하시던데 혼란이옵니다 - dc App
절대 dx dt 수취급하비마라 적분 뒤에붙은 dx dt는 곱셈이아니다 계속 이렇게말씀하시고 해서 교과과정대로 엄밀하게풀고싶어서요 - dc App
교과서대로 하면 서울대 풀이도 맞아요. 고등교과과정에선 수 취급해도 별 문제 없어서요. 대학과정이 포함되어도 저 상황에서 수 취급이 정당화 되는 것을 증명할 뿐이지 계산은 똑같아요.
parameter를 바꾸는 것에서 g'(x) dx=dt는 같은 1-form이 맞고 g'(x)=dt/dx도 맞음 맞는 부분은 g'(x) dx=dt는 고등학교에서 나와서는 안되는 지식이며, dt나 dx는 기호로만 다루기 때문에 dt/dx는 분수가 아니다 정도임 이마저도 1 dimension에서는 비율로 해석하는 정도는 가능함
1-form을 통해 measure를 얻기 위해서 해석 쪽을 써야하긴 함. 근데 이 모든 것들은 결국 저 계산이 맞다는걸 증명하기 위함이라 밑댓이 깔끔하게 설명한 것 같음.
근데 짤 풀이에서 딱히 그런거 쓴 부분도 없는데? 그냥 좀 생략해서 썼을 뿐이고 1-form을 언급하지도 않고 dt/dx를 딱히 분수로 생각한 흔적도 없음
dt/dx dx=dt가 수로 생각해서 분자분모 지워졌다고 생각하나봄. 이래서 교과서대로만 해야하는데 자꾸 이상한 내용으로 어그로 끌어서 햇갈리게 만든다니까.
안적혀있는 약분을 상상했다는 거구나 16/64=1/4 적힌거에서 6을 날리는 약분 상상하듯이
똑같음. f(x)를 단순히 e^{-sqrt(x)}로 쓰는게 아니라 e^{-sqrt(x)}를 2sqrt(x)e^{-sqrt(x)} * 1/(2sqrt(x))로 써버리면 g(x)를 sqrt(x)라고 했을때 문제에서 요구하는 적분이 int f(g(x))g'(x)dx이라 치환적분법에 의해 int f(t)dt = int 2te^(-t)가 되는거
애초에 처음에 적힌 꼴 자체가 f(g(x))g'(x) 꼴인게 쉽게 확인가능하면 위에 영상의 말대로 적당한 함수에 g(x)를 t라고 가정하고 푸는방법이 쓸데없는거긴하지만 이 문제처럼 이런 모양이 바로 확인하기 힘든경우엔 g(x)라고 예상되는애(이 문제의 경우 e의 지수에 있는 sqrt(x))를 g(x)라 두고 g(x)를 t로 치완해서 계산해보는게 오히려 정확한 모양찾는게 쉬움
그리고 저 풀이를 읽어보면 결국 g(x)=sqrt(x)=t로 뒀을때 g'(x)=1/{2sqrt(x)}고, 그래서 결국 적분이 e^{-sqrt(x)}dx = e^{-sqrt(x)}{2sqrt(x)}/{2sqrt(x)}dx = 2g(x)e^{-g(x)}g'(x)dx =f(g(x))g'(x)dx란 얘기니까 (f(y)=2ye^-y) 치환적분법에 의해 f(t)dt란 얘기지 어디서도 dx를 수취급해서 없앤게 아님
dy dx 수취급 하는건 못 푸는 문제도 풀게 해주는 테크닉이 절대 아니라 계산이 더 편한게 끝임 원리는 같
교과과정에서도 다 저렇게 푸는데 뭔 개소리지
오개념 아니니까 걱정하지 말고 풀던대로 풀면됨
애당초 x²=y 로 치환하면 2xdx=dy 가 된다는걸 관찰하고 이용한다고 해서, dx,dy 를 수 취급하는게 아님
결국 저 강사도f(g(x)) g'(x) 를 f(t) 로 보자는것이 치환적분법이라고 설명하고 있음. t=g(x) 라는 관계로 치환한 것 뿐이니 같은 식임.
같은 식이니 적분값도 같음 그런데 f(g(x)) g'(x) 는 x에 대한 식이니까 적분하려면 x에 대해 적분할 수 밖에 없고 dx가 붙는거임 f(t) 는 t에 대항 식이니까 적분하려면 dt가 붙는거임.
오개념 운운하는건 강사들 특징임. 그렇게 말해야 학생들이 한마디라도 더 들으려고 하기 때문임. 애당초 저 강사 말대로 dx를 숫자라고 생각하는건 오개념임. 가령 숫자라면 dx+dy 는 뭐임? 고딩때 이런건 알 수 없다고. 근데 치환적분법에서 쓰는 dxdy 표기는 그낭 현상을 나타내는 기호 이상도 이하도 아님