고3인데 전부터 궁금했는데 물어볼 곳이 없어 질문해요
극한을 배우지 않았을때 0.11111...=1/9 라서 0.999..=1 이라고 배운것 같아요 또,0.9999... 와 1 사이에 어떤 실수도 존재하지 않기에0.9999..=1 이라고 들은 것 같아요 이에 대해 의문이 생깁니다
0.999999.... = 1 이라면 0.9999 ≠ 1- 인데 1보다 작은 쪽에서 한없이 가까이 간다는 생각이 0.9999... 되는게 아닌가요? 제가 극한을 잘못 알고 있는 걸까요 극한값은 1이지만 1-는 1은 아닌게 맞지 않나요... 근데 1보다 작은 쪽에서 한없이 가까이 간다는게 0.999...가 아닌가요??
극한을 배우지 않았을때 0.11111...=1/9 라서 0.999..=1 이라고 배운것 같아요 또,0.9999... 와 1 사이에 어떤 실수도 존재하지 않기에0.9999..=1 이라고 들은 것 같아요 이에 대해 의문이 생깁니다
0.999999.... = 1 이라면 0.9999 ≠ 1- 인데 1보다 작은 쪽에서 한없이 가까이 간다는 생각이 0.9999... 되는게 아닌가요? 제가 극한을 잘못 알고 있는 걸까요 극한값은 1이지만 1-는 1은 아닌게 맞지 않나요... 근데 1보다 작은 쪽에서 한없이 가까이 간다는게 0.999...가 아닌가요??
0.999999.... : 1의 다른 표현
1- 라는 수는 없음
무한소수를 극한으로 생각할 거면 급수로 봐야지. 0.999... = 0.9+0.09+0.009+... = sum 9/10^n = (9/10)/(1-1/10)=1. 1/2+1/4+1/8+...가 1이 된다는 것은 납득할 거 아냐? 1-가 아니라. 정규 교육과정에서 1-라는 표현은 lim x->1- 에서만 등장했을 텐데, 여기서 1-는 하나의 표현 방식일 뿐 실제 수를 의미하는 게 아니거든. 간단한 예시로 상수함수 f(x)=1로 주어졌을 때 lim x->1- f(x)를 생각하면 lim x->1 f(x)=1이므로 좌극한도 1. 1-가 되지는 않음.
제가 극한을 잘못 알고 있는 걸까요: 네 잘못알고있습니다. 극한은 1보다 작은 쪽에서 한없이 가까이 간다는 생각이 아니고, 1보다 작은 쪽에서 한없이 가까이 다가갈때 가까워 지는 "값"이에요. 다가가는 상태 라던지 무한소 같은건 실수체계에서 존재하지 않아요.
1- 이라는 수는 존재하지 않습니다
a_n 이라는 수열을 a_1=0.9 a_2=0.99 a_3=0.999 ... 라고 정의합시다.
그럼 모든 자연수 n에 대해 a_n ≠ 1 이 맞습니다.
그리고 말씀하셨듯 lim(n -> inf) a_n =1 이구요
다음의 기호 "0.999...." 는 숫자를 나타내는 기호입니다. 이 기호는 수열 a_n 을 나타내는 것도 아니고, 증가성을 나타내는것도 아닙니다. 그 수열 a_n 의 극한값 그 자체를 나타내는 것입니다. 이렇게 0.999... 의 정의에 대해 명확히 했구요
극한값에 대해서도 지적해드려야 하는데, lim(n -> inf) 1+1/n lim(n -> inf) 1-1/n 이 둘은 같은 극한값을 가집니다. 어떤의미에서든 첫번째 극한을 1+, 두번째 극한을 1- 라고 부르고 싶은 것은 이해합니다만, 1+, 1- 는 실수가 아닙니다.
만약 님 말대로 1-, 1, 1+ 이 서로 다른 실수라고 가정한다면, 삼중률에 의해 반드시 대소비교가 가능해야하고, 1- < 1 < 1+ 일 것입니다.
그럼 (1+) - (1)은 뭔가요? 0일수는 없습니다. 왜냐하면(1+) - 1 = 0 에서 1을 이항하면 (1+) = 1 이니까 우리의 가정에 어긋나죠. 그럼 (1+) - 1 = 0+ 인가요? 뭐 좋습니다.
그럼 (1+) - (1-) 는 뭔가요? 이건 0일수도, (0+) 일수도 없습니다. 0이라면 1+ = 1- 일 것이고, 0+ 라면 (1+)- (1-) = 0+ = (1+) - 1 이므로 좌우변의 1+ 를 상쇄시키면 (1-)=1 이 됩니다. 이것도 우리 가정에 모순이죠. 그럼 0++ 같은걸 허용해야 하나요?
이렇게 1-, 1, 1+ 가 존재한다고 가정한 순간, 0뿐만 아니라 0< 0+ <0++ 같은것도 허용해야만 하는걸 알게됐습니다. 그럼 대체 (1/2)*(0+) 은 뭡니까? 0 뒤에 +를 절반만 붙일까요? 이런 문제때문에 실수 x 에 대해, x+ 같은, "x와 거의 비슷하지만 조금 큰 수" 같은것을 허용하지 않습니다. 덧뺄셈을 허용 안한다면 실수가 아닌 것이고, 연산가능 하도록 하려면 x+++++ 같은것도 허용해야하는데, 우리가 아는 실수에 +를 그렇게 많이 붙이는 수가 있던가요?
그럼 1+, 1- 는 뭔가요? 1+, 1- 는 극한의 좌극한, 우극한을 나타내기 위한 기호에 불과합니다. lim (x->1+) f(x) 이렇게 lim (x-> ♡) 에서 ♡ 자리에만 올 수 있는 기호에요. 이런 방법으로 까다로운 합성함수 문제도 해결 가능합니다.
요약하면 A. 0.999... 는 극한값 그 자체를 지칭하는 것이고 B. 1+, 1- 는 실수가 아니므로 1과 대소비교를 하는것부터가 말이 안된다.
이해 진짜 잘되네요 업이 교육쪽이신가 - dc App
극한은 한없이 가까이 다가가고 있는 그 "목푯값"을 지칭하는 말임. 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 이 수열의 극한값을 0.99....라고 적을 뿐이고, 이 수열은 당연히도 1을 목표로 해서 다가가고 있음. 그러니 극한의 정의에 의해 0.99...=1.
무한소가 실수체에 들어있진않음 - dc App