Walter Rudin의 Principles of Mathematical Analysis 4장을 공부할 일이 있어서 보고 있습니다.
아시다시피 해당 단원은 (거리공간에서의) 연속함수의 정의 및 성질에 대해서 공부하는 부분입니다.
Definition 4.1에서, 두 거리공간 사이의 연속함수의 정의를 내린다음
Theorem 4.2에서 동치조건을 알려줍니다.
이 동치조건을 공부하다가 궁금한게 생겼습니다.
찾기 귀찮으실까봐 4.1과 4.2를 직접 여기 글에 올립니다.
4.1에서 요렇게 거리공간 사이의 함수가 연속이라고 불릴 때를 정의를 하고,
그리고 4.2를 보면
저는 여기서 Conversely 라는 부분부터 궁금한 것이 있습니다.
여기에서 나오는 논리는 전부 이해를 하였고,
delta_n = 1/n으로 잡으면 항상 d_{Y} (f(x),q ) >= epsilon but 0 < {d_{X} (x,p) < delta 를 만족하는 x가 늘 존재한다는 것도 알았습니다.
제가 문제삼는것은, 이러한 x가 유일하다는 보장이 없기 때문에,
실은 이 각각의 n들에 대해서도 만족하는 x는 하나가 아니라 여러개 일 수 있으며,
따라서 여기서 수열을 만들어낸다면, 이 x들 사이에서도 우리가 수열을 뽑아내는 과정에서 선택공리에 쓰이는 choice function이 쓰인다는 것입니다.
물론, 어떠한 수열이든 본문에 적힌대로 모순이 생겨나므로, 제가 궁금한 부분을 제외하면
그러나 제가 주장하는 바는 '위의 조건을 만족하는 수열이 있으면 모순이 생긴다'는 단계가 아니라, '위의 수열을 만들어내는 과정에서 선택함수가 쓰인다'는 겁니다.
즉, 엄청 줄여서 말하면, '여기서 말하는 귀류법을 이용한 증명에는 선택공리를 사용하였다' 라는 것이 됩니다.
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1) 제가 선택공리에 대해서 제대로 인지를 하고 있는 건가요?
2) 그렇다면 이 텍스트는, 선택공리를 '가정'하고 씌여진 건가요?
3) 만약 2)에 대한 대답이 YES 라면, 선택공리를 쓰지 않고 이걸 증명할 수 있을까요?
수리논리쪽으로 잘 아시는 분들이 계실 것 같으니 여기에 질문을 드려봅니다.
답변이 늦을 수 있습니다. 미리 죄송하다는 말씀 드리겠습니다.
적고나서 밥을 먹고 왔는데, 식사하면서 생각해보니 이건 선택공리의 문제가 아니라 vauously true의 문제라고 보여집니다. 선택공리가 '수열을 잡을 수 있냐 없냐'에 영향을 미치는 것은 맞다고 생각됩니다만, 여기서 말하고자 하는 최종 목표는 '수열이 있으면 모순이 생긴다'이고, 만약 선택공리가 성립하지 않아서 이런 수열을 잡을 수 없다 하더라도 어쨌든 이런 수열은 없는 것이므로 해당 주장의 타당성이 입증되지 않을까 합니다. 수리논리를 좀 더 공부해봐야겠지만, 일단은 이정도까지만 이해하고 넘어가보겠습니다. 더 좋은 의견 써주시는 분들과 읽어주시는 분들에게 감사하다는 말씀 드립니다.
음음 그래그래
아니 선택을 못한다고 주장하더라도 그건 그 방법으로 수열을 구성하지 못한다는것 뿐이지 그러한 수열이 존재하지 않음을 말하는 것으로 비약해서는 안됨
"자연수 n마다 [n,∞)에서 원소를 하나 뽑아 수열을 만들면 무한대로 발산하는 수열을 얻는다"를 보고서 선택공리가 없다면 무한대로 발산하는 수열은 이렇게 못만드니까 사실 무한대로 발산하는 수열은 존재하지 않는다고 주장하는 셈
말씀하신대로 vacuously true라고 제가 적은 표현도 잘못되었네요. vacuously true는 '해당 대상이 존재하지 않을 경우도 진술이 참이라고 한다' 라는 것인데, 그것과는 다르게 제가 적은 것은 '해당 대상을 구성해내는 방법'에 대해서 적은 것이니까요.
좀 더 자세히 말하면, '선택공리를 사용하지 않고 구한 어떤 수열이 있다 할지라도, 해당 주장은 모순을 발생시킨다' 라는게 제...주장입니다. 잘 모르겠는 분야의 말로 적으려니 표현이 미숙하네요 ㅠ
AC의 약한 형태인 Axiom of countable choice가 쓰인게 맞음.
https://math.stackexchange.com/questions/1240634/accumulation-point-is-a-limit-of-some-sequences-in-first-countable-space-with-ax
아.... 여기는 너무 어려워서 손을 안 대려고 했는데 결국 나중가면 공부를 해야할 수도 있겠네요... 하긴 countable개만 잡는거니 AC보다 약한 ACC면 되겠군요... 감사합니다!!!