[일반] 대수기하는 무엇을 하는 분야인가요

[익명(210.107)]

물리학과생입니다

덕분에 해석학 위상수학 미분기하 현대대수일부(=군론) 정도는 찍먹해서 각 분야에서 뭘하는지 대충은 알겟는데

이름을 들엇을때 뭐하는건지 모르겟는 수학분야가 여전히 많더라고요

대수기하말고도 딴것들도 궁금하긴한데 다 물어보기엔 너무 많으니까 대수기하만 물어봅니다

[수갤러 1(211.234)]

대수문제를 기하적으로 풀거나 기하문제를 대수적으로 푸는걸 연구함 옛날 수학자들이 기하학적 구조를 잘 모아보면 환(ring) 구조가 만들어진단걸 알면서 그쪽으로도 연구되다가 그로텐디크란 얘가 역으로 환마다 대응되는 기하 구조가 있단걸 보이면서 댓 기하 혁명이 시작됨

[수갤러 1(211.234)]

고딩때 기하문제를 좌표평면에 올려서 방정식 풀고 하는 것도 크게 보면 대수기하임

[작은날개(search9860)]

기하학적 대상 (원, 직선 등등)을 대수적으로 연구하다가 x^{2} + y^{2} = r^{2}, ax+by+c=0 언젠가 부터는 대수적 대상인 환이 주어졌을 때 이를 기하적인 대상이 대응한다 쪽으로 연구하는 학문임

[작은날개(search9860)]

기하학은 언제부터인가 어떤 함수가 있을 때, 정의역과 치역 사이에 바뀌지 않는 수학적인것들을 연구하는 학문으로 바뀌었음. 물리적으로 생각하자면 대칭성 같은 느낌?

[작은날개(search9860)]

그런데 전단사 함수들의 합성연산은 군의 구조를 이루고, (예를 들어 대칭변환들의 합성) 여기에 조금 더 나아가면 환 구조를 생각해 볼 수 있는데, 역으로 환에 대응하는 기하학적인 대상들을 연구해보는거지

[수갤러 2(110.35)]

대수기하는 미분기하와 복소기하에서 생각하던 공간에 대한 연구를 대수적 다양체로 넘어와서 공간을 대수적인 도구들을 통해 연구함 아주 넓게 치면 땅 넓이를 구할 때 대수 쓰는 것도 포함시킨다지만 현대의 대수기하는 sheaf와 scheme theory에서 시작되었다고 봄

[수갤러 2(110.35)]

여기서 scheme은 미분기하의 glueing을 쓰고 sheaf는 복소다양체 위의 함수를 다루는 방식에서 범주론적으로 형식화가 이루어짐

[수갤러 2(110.35)]

환 얘기는 사실 affine variety 배울 때 공간과 환이 대응된다는 작은 일부분의 얘기임 기하답게 공간의 분류, 특이점, 불변량 등 여러 키워드가 있고 가환 대수, 호몰로지 이론, 리 군 이론 등 많은 대수 이론이 사용됨

[수갤러 2(110.35)]

미분기하나 다른 분야의 연구를 대수기하적으로 연구하는 것도 한창 진행되는데 페르마의 마지막 정리는 정수론에서 타원곡선론으로 가져왔고 허준이 교수는 조합 대수기하학이라고 조합론의 문제를 다룸

[수갤러 2(110.35)]

참고로 고딩때 좌표평면 쓰는 기하는 해석기하학이라고 현대의 미분기하나 대수기하 등 여러 기하학의 기초가 된 분야임

[수갤러 3(175.208)]

(다변수) 다항식 연립방정식의 해집합의 기하학적 성질을 (주로) 대수학적 방법을 이용하여 연구하는 학문.

[익명(118.235)]

물리쪽에서는 모듈라이 공간의 부피가 초끈진폭 계산할 때 자주 나옴