1+1이 2라는건 누구나 당연하게 받아들일 수 있음에도 굳이 새롭게 공리로 쪼개고 불필요한 정의들을 새롭게하는 이유는 무엇일까?

수학을 하다보면 미치기 마련이라 1+1=2라는 식이 당연해보이지 않게된다 정확히는 덜 당연해보인다 그렇다면 1+1을 더 당연하게 만드는 법은 뭘까? 결론만 말하고 끝내면 재미없으니 이 아이디어를 떠올리는 과정을 살펴보자

우선 아주 어려운 수학 개념을 하나 생각해보자 예를 들어 미분정도면 사칙연산보단 아주 어려운 축에 든다고 볼 수 있다 그런데 다들 알다시피 수학은 연역적이다. 미분이라는 아주 어려운 개념도 실은 계속 쪼개고 쪼개다보면 아주 당연한 사실들이 수십 수백개가 모여 미분이라는 개념을 정의하고 증명한다 즉 미분이란건 당연하다 하지만 우리에게 미분은 그 토대를 이루는 당연한 사실들보다는 덜 당연해보인다. 즉 당연한 사실이 모여서 덜 당연해지는 현상이 일어난다. 그렇다면 반대로 당연한 사실을 훨씬 당연한 사실들로 쪼갤 수 있다면 우리는 덜 당연한 사실을 더 당연히 만들 수 있지않을까? 예를 들어 a=a같은 정말 너무 당연한 사실들을 몇 개 모아 1+1=2라는 것을 증명할 수 있다면 아까까지 1+1이 왜 2인지 모르겠다며 툴툴대던 수학자들의 입을 닫게할 수 있지않을까?

심지어 그 수많은 당연한 사실들이 단 몇개의 당연한 사실로부터 모두 유도될 수 있다면? 이건 공리계의 수많은 의의중 하나이고 실제 그 근거로 공리계의 공리들은 1+1=2라는 사실 따위보다 훨씬 비교도 안되게 당연해보인다.