f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+..+a_1x^1+a_0가
모든 실수 x에 대하여 f(x)=0이 성립하면
a_0=a_1=...=a_n=0이다의 초등적 증명
a(0)은 f(x)를 x로 나눴을 때의 몫을 Q라 해보죠.
나머지는 a(0)이에요
a1은 Q을 x로 나눴을 때의 나머지로
이와 같이 x로 f(x)를 나누고 나온 몫을 다시 x로 나누는 행위을 반복하면 각 행위에서 나머지
a(0), a(1),a(2) ... 를 얻을 수 있어요.
f(x)가 0이라면 x로 나눴을 때 몫은 0, 나머지는 0, 몫이 0이니 곧 모든 행위에서 얻는 나머지가 0으로 일정하게 되죠.
따아서 a_0=..=a_n=0이 성립합니다.
이거 수학적으로 완전한 증명인가요? 궁금합니다
- dc official App
전혀 아닙니다. 1) 선생님이 말하신 행위를 반복해서 얻은 a(0), a(1), a(2)... 이런 것들이 처음 식의 a_0, a_1, a_2....와 완전히 같은 겁니다. 2) 밑에서 3번째 줄을 기준으로 그 윗 부분과 아랫 부분의 논리가 완전 다릅니다. 관련도 없구요. 3) 밑에서 3번째 줄부터 주장하는 바를 논리를 자세히 봅시다. 'f(x)가 0이라면 x로 나누었을 때 몫과 나머지가 0이다' 인데, 이건 f(x)가 0 이라는 '가정' 하에서 나온 것입니다. 다시말해서 그냥 'f(x)가 0일 경우'의 성질을 읊은 것에 불과합니다.
A라는 주장이 맞다는 것을 증명해야하는데, A라는 주장이 성립한다는 가정하에 '어떠한 일이 펼쳐질까?'를 나열하신 것 뿐입니다.
역시그렇군요 고등교과과정내로 증명할수있는거라고 누가 올려서 이상했는데.. 저걸 수학적으로 완전히 증명하려면 필연적으로 대수학의기본정리가 필요한거죠? 수치대입법같이 초등적인 거로는 완전하게증명이안되는건가요 - dc App
x로만 나누는게 아니라 서로다를 n개의 수(x1, x2, ... , xn)를 가지고, f(x)를 x-x1으로 먼저 나눠보고 그 결과에서 다시 x-x2, x-x3순서로 나누어가다보면 0함수밖에 될수 없다는거 증명가능함
또다른 증명으로"극한"을 이용해서f(0)=0이므로 a_0=0따라서 f(x)=a_1x+..+a_nx^nlim f(x)/x = 0이므로 a_1=0따라서 f(x)=a_2x²+..+a_nx^n..lim f(x)/x^n = 0 이므로 a_n=0이 증명도 얘기가나오던데 이거는 올바른증명인가요? 극한의존재가 저 명제와 상충되는 순환논리인 경우가아니라면 맞을거같은데 잘모르겠어서.. - dc App
lim f(x)/x가 0이란건 대체 어디서 가져온거냐 그냥 다항식의 나눗셈만 해도 간단히 증명가능한걸 굳이 이상하게 돌아가네
간단히 증명되는거의 완전한 form이 궁금합니다. 순환논리랑 더불어서 자꾸 헷갈리네요. - dc App
다항식의 나눗셈만을 이용한 간단한 증명을 완전히 서술해주시면 정말 감사하겠습니다. 어느것이 맞는 논리인지 확신이 안갑니다 - dc App
f(x)=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0라고 하면, f(c)=0인 아무 수 c에 대해서 f(x)를 x-c로 나누면 f(x)=(x-c)*q(x)+r이 되고, (q(x)는 a_n*x^(n-1)+n-2차 이하 꼴) 여기서 x=c를 대입하면 f(c)=(c-c)q(c)+r=r이고 f(c)=0이니까 r=0 즉, 다항식 f(x)에 대해 f(c)=0이면 f(x)=(x-c)*q(x)가 돼버림.
그래서 본문의 f(x)는 x-1로 나누면 f(x)=(x-1)q_1(x)가 됨.(여기서 q_1(x)는 최고차항이 a_n*x^(n-1)) f(2)도 0이므로 f(2)=(2-1)q_1(2)=q_1(2)=0이므로 마찬가지로 q_1(x)=(x-2)*q_2(x)이 됨. 이런식으로 3,4,5,6,7 ... n에 대해서 같은 행위를 반복하면 결국 f(x)=(x-1)*(x-2)*...*(x-n)*a가 되는데(차고로 이때 a=a_n), x=n+1을 대입하면 좌변은 0, 우변은 n!*a가 돼버려서 a=0이고 f(x)=0*(x-1)*...*(x-n)이라서 그냥 0함수가 돼버림
만약 a_i들 하나하나가 전부 0인걸 보이는게 중요하다고 생각되면 반대로 0이 아닌 a_i가 하나라도 존재한다고 가정한 후 모순을 보이면 됨. 0이 아닌 a_i가 있다면 그 중에서 제일 차수가 높은 애를 a_m이라고 하면 f(x)=a_m*x^m + .. 꼴이되고, (a_m =/= 0) 위에 있는 논리를 쓰면 f(x)=a_m*(x-1)*...*(x-m)를 보일 수 있는데 이때 x=m+1을 넣으면 a_m*m!=0이라 모순. 즉, a_i중에 0이 아닌 a_i가 있으면 안되는걸 보일 수 있음
다항식의 나눗셈이 정의될때 증명하려는 명제가 함의되어 있으면 순환논리가 발생할텐데 (n차를 1차로나누면 몫이 n-1차,나머지가 상수) 이 사실을 추가적으로 규명해줄수있나요? 이 명제와 다항식의나눗셈이정의되는것은 아무관련이없다는 것이 추가돼야하는거같습니다 - dc App
cx^n꼴은 (x-d)*cx^(n-1) + n-1차 이하텀으로 쪼갤 수 있잖아
그러니까 그게 가능하다는 것에 유한차 다항식의 근개수의 유한성(대수학의기본정리)이 전혀 쓰이지 않냐는 것이 질문입니다 - dc App
이걸 이용해서 최고차항부터 차례대로 삭제해나가면 임의의 n차 다항식 = 일차다항식 * n차다항식 + 상수텀으로 쪼개는게 되지
대수학의 기본원리가 쓰인게 아니라 이 기본적인 나눗셈 원리(유클리드 호제법)을 써서 대수학의 기본정리를 증명한거임
애초에 대수학의 기본원리의 핵심은 1차 이상의 모든 복소계수 다항식은 복소수 범위에서 적어도 하나의 근을 가짐을 보이는거임
아 그렇군요 그러면 순환논리 문제도 해결됐으니 제시하신 증명이 완전한 것 같네요. 감사합니다 - dc App
그걸 보이면 해당 근 a에 대해서 (z-a)라는 1차항을 가지고 나눗셈(대수학의 원리와 아무 상관x)을 했을때 f(z)=(z-a)h(z)+r인데 a가 근이라는 사실로부터 r=0이 나오고, 결국 f(z)=(z-a)h(z)가 되고 h(z)에 대해서도 h가 근을 가진다는 원리를 이용해서 일차항을 하나씩 뺄 수 있다는 얘기임
근데 혹시 이 논리를 실수체에서 전개되는 다항식이 아닌 임의의 field에 대해서도 다 된다로 확장시킬 수 있을까요? (finite field라던지,..) F의 원소개수가 n보다적어버리면 논의전개를 하기가힘들거같은데 일반적인 체에서도 다성립하는건가요? - dc App
0함수가 덧셈의 항등원으로서 유일하니까 끝난거아님? 뭘 더 보여야하는건질 모르겠네
a_n=a_(n-1)=....=a_0=0 인 다항식은 (함수덧셈에 있어서) 덧셈의 항등원이다 덧셈의 항등원인 다항식은 유일하다(왜냐하면 0이 유일하니까) 주어진 f 는 영함수이다. 따라서 a_n=a_(n-1)=....=a_0=0 이다. 끝
영함수가 유일하다는 것과 같은 유일한 영함수라도 표현의 유일성은 다른 문제라 그렇게는 안되지않을까요 (1은 유일하게 1이지만 1=2+(-1) 1=3+(-2)이 되는거처럼) - dc App
제시하신 증명의논리는 a_1v_1+...+a_nv_n이 영벡터고 b_1v_1+...+b_nv_n이 영벡터면 a_1=b_1...a_n=b_n이라 주장하는건데 오류가있는 것 같습니다 - dc App
난 아무 문제도 안보이는데 본인이 보기에 문제가 있는 것 처럼 보이면 뭐 알아서 찾아보셈
이는 v1,..,v_n이 선형독립일때만 성립하는데 결국 그러면 {1,x,..,x^n}이 선형독립이기때문에 본문의명제가 참이다! 주장하는건데 본문의명제가 참임을 증명해야 {1,..,x^n}이 선형독립임이 증명돼서 순환논리가되는거같습니다 - dc App
그냥 다항식환에서 항등원이 0으로 유일하다는걸 증명하기 위해 선형독립까지 끌어와야됨? 뭔소린지 난 전혀 이해가 안감
본문이 궁금했던 이유가 선형대수 수업에서 교수님이 {1,x,..,x^n}이 선형독립인 이유를 교수님은 다항식이 유한개의근을 가지기때문에 안된다고 그래서 a_1=..=a_n=0이다. 라 설명하고 넘어가셨거든요 근데 대수학기본정리를 안쓰고 이걸 증명할수는없나궁금해서질문했었습니다 - dc App
만약 누가 저보고 1,x ,x², x³ 이 선형독립임을 증명하라고 하면 a+bx+cx²+dx³ 이 항등적으로 0이라고 가정하고 x=0,1,2,3 대입해서 0 0 0 1 1 1 1 1 2 4 8 16 3 9 27 81 행렬식이 0이 아님을 증명할거같음요. 겉은 규칙으로 만들어진 nxn 행렬 행렬식이 모두 0이 아님을 보일 수 있을테니 x^n 꺼지도 가능할걱ㅎ
굳이 나머지정리를 쓰고싶다면 x, (x-1), ..... (x-n) 으로 나눌거같네요
안녕하세요, 첫 댓글 적은 사람입니다. 글 쓴 작성자분게서는 위 주장을 대학교 밑의 방법으로 도출해 낼 수 있는지를 순환논리에 빠지지 않고 증명을 하고 싶어하시는 것 같습니다. 댓글들 보니 선형대수 쓰신 분들도 있고, 다항식 나눗셈를 쓰신 분들도 있지만, 선형대수는 사실 대학교에서부터 본격적으로 배우는 것이기에 글쓴 분은 고등학교 정도의 지식으로 증명을 하고 싶어하시는 것 같습니다. 물론, 대수학의 기본정리를 사용하지 않고 증명한다는 조건이 추가되어서요.
제가 증명하는 바는 이렇습니다. 다항식의 나눗셈을 사용한 겁니다.
1. 우선 다음의 fundamental lemma를 증명합니다. fundamental lemma) 최고차항이 n이고, (물론, 그 최고차항의 계수가 0이 아닌) 1변수 다항식 f(x) 가, 만약 어떤 복소수 c에 대하여 f(c) = 0 이라고 하자.그러면 f(x) = (x-c)g(x) 인 (n-1)차 (그리고 최고차항의 계수가 0이 아닌) 1변수 다항식 g(x)가 존재한다.
proof) 만약 f(x)를 (x-c)로 나누면 몫이 n-1차 다항식 q(x)와 나머지 상수 r 이 나와서f(x) = (x-c)q(x)+r 이다. 두 다항식은 완전히 같으므로, 양쪽 모두 x=c일 때 0의 값을 가진다. 따라서 0 = f(c) = r 이므로 f(x) = (x-c)q(x) 이고, 여기서 q(x)가 우리가 원하는 g(x)가 된다. (물론, 애초에 ‘나눌 수 있나?’도 논의할 만한 과정이긴 합니다만, 여기까지 들어가진 않겠습니다)
2. 그럼 이 fundamental lemma로부터 또 다른 lemma를 증명합니다. Lemma) 최고차항이 n이고, (물론, 그 최고차항의 계수가 0이 아닌) 1변수 다항식 f(x)는 복소수체 위에서 n+1개 이상의 서로 다른 해를 가질 수 없다. (복소수체가 헷갈리면, 그냥 n+1개 이상의 복소수 해가 없다고 번역하시면 됩니다)
proof)수학적 귀납법을 이용합니다. n = 0, 1일 때는 당연히 참이고 n=2일 때도 당연히 참입니다. (n=2는 혹시나 해서 써놨습니다. 이건 증명을 적진 않겠습니다) 이제, 어떠한 자연수 k에 대해서 위 주장이 참 이라고 합시다.그렇다면, k+1차 1변수 다항식 f(x) = a_0 + {a_1}x + {a_2}x^2 + .... + {a_k}x^k + {a_{k+1}}x^{k+1}을 고려합시다. (물론 a_{k+1} 은 0이 아닙니다)
우선 이 다항식 f(x)가 k+2개의 서로 다른 복소수 해를 가진다고 하면, 그 중의 해를 하나 c 라고 합시다. 그럼 위의 fundamental lemma에 의해서 f(x) = (x-c)q(x)라고 이고, 따라서 q(x) = f(x) / (x-c)입니다. 근데 f(x)가 애초에 c 이외에도 k+1개의 해를 가졌으므로, 이 모든 해 c_1,c_2,....c_{k+1}에 대해서 q(c_1) = q(c_2) = .... = q(c_{k+1})는 참입니다. 헌데 q(x)는 k차의 다항식이죠. 따라서 이건 '어떠한 자연수 k에 대해서 위 주장이 참이다‘ 라는 가정에 모순입니다. 그러므로, f(x)는 많아봐야 k+1개의 해를 가집니다.
3. 따라서 Lemma를 증명하였으므로, 그럼 이제 우리의 본래 주장을 증명해봅시다. 저는 이 주장을 좀만 더 일반화시켜서, '모든 실수를 해로 가진다'보다 더 약한조건인 ’복소수해가 n+1개인 경우도 0이 된다'라는 조건 하에서의 statement를 증명하겠습니다. Statement) 복소수 위에서 변수가 x 하나뿐인 유한차수 다항식 f(x) = a_0 + {a_1}x + {a_2}x^2 + ... + {a_n}x^n 이 만약 n+1개의 서로 다른 복소수를 해로 가진다. 그러면 모든 계수는 0이 된다.
proof) a_n이 0이 아니라면 위 다항식은 n차수이고, n+1개의 서로 다른 복소수를 해로 가진다. 이는 위의 lemma에서 모순. 따라서 a_n = 0 이다. 그럼 다음 계수 a_{n-1}에 대해서도 똑같은 논리 적용해서 a_{n-1} = 0이 되고, 쭉 내려가면 모든 계수가 0이 된다. 그러므로 이 다항식 f(x)는 0과 완전히 동일하다.
이렇게 해서, 원하시는 바를 '대수학의 정리를 사용하지 않은 초등적인 방법’으로 증명해 냈습니다. 초등적인 것이 무엇인가에 대한 태클은 있겠지만, 당장 여기서는 패스하도록 하겠습니다. 다항식의 나눗셈을 이용한 정도면 초등적이라고 봐야겠죠.
4. 이제, 고등학교를 넘어서 대학교 대수학에서 일반적인 체의 경우까지 고려해봅시다. 위의 주장은 유한체에서는 틀립니다. 예시로, 원소가 단 두 개, 0과 1 뿐인 체 Z/(2)를 고려합시다 여기에서 함수 f(x) = x^2 + x를 보면, f(0) = f(1) = 0 이죠. 즉, f(x)는 체의 모든 원소를 근으로 가지지만, 영함수와 완전히 같은 함수는 아닙니다. 혹은 무한체라도 charateristic 2인 체에 대해서는 여전히 이 주장이 유효하겠죠? charteristic이 2가 아닌 경우는 결국 소수p라는 이야기인데, 아마 f(X) = X^p - X를 따져보면 될겁니다 (솔직히 말해서 무한체인데 char =/= 0인 경우는 아직 잘 알지 못합니다. 이 부분은 오류 지적 환영합니다)
아, 잘못 적은거 같군요. 무한체인데 char p 인 경우는 잊어주세요. 다른 분들이 좀 더 적어주실 겁니다.
어찌되었든 유한체에서는 f(X) = X^p - X 인 경우가 반례입니다.
그래서 이 주장은 정수/유리수/실수/복소수 에서만 성립할...겁니다! (정수는 체는 아니지만 그냥 넣어봤습니다) 좀 더 넓혀보면, char 0인 체의 경우는 무조건 복소수에 embedding이 될 것이므로, 복소수에서 성립하는 위 주장이 당연히 성립할 겁니다 (가령 Q(pi) 라던가 Q(pi)의 algebraic closure 같은 놈들 말이죠. pi is transcendental over Q를 고려하시기 바랍니다) 그래서 정리해보면 유한체는 무조건 반례가 있고, 무한체인데도 char 0 이면 성립할 겁니다. 하지만 무한체인데 char p 인 경우는....잘 모르겠습니다 (개인적으로는 있을 것 같습니다)
5. 이제부터는 제 추측의 영역입니다. 비약이 있을 수 있습니다. 글쓴 분께서는, 위의 주장이 초등적인 방법으로 증명이 되느냐 되지 않느냐를 신경을 쓰셨습니다. 이에 대한 추측입니다. 대수학의 기본정리가 처음 증명될 때는 많은 대가들이 실수를 범했고, 지금에서야 그 분들이 위상수학적으로 고려하지 않은 부분이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 그래서 아마 작성자분도 ‘내 친구의 주장은 증명하려면 대수학의 기본정리가 필연적인데, 이 녀석이 그걸 깨닫지 못해서 그냥 초등적으로 증명이 가능하다고 착각하나보다’ 라고 생각하신 것 같습니다.
그러나 위에 제가 적은대로, 작성자의 친구분의 주장은 수학적으로 옳은 내용이였고, 또한 초등적으로 증명이 가능한 부분이였습니다.
대수학의 기본정리의 본래 내용은 ‘n차 복소다항식은 서로 다른 복소근을 많아봐야 n개 가진다’ 라는 뜻이고, 좀 더 정확히 말하면 ‘n차 복소다항식은 multiplicity를 고려하면 복소근은 정확히 n개이다’ 라는 것이 기본 내용이죠. 하지만, 위 글에서 작성자의 친구분께서 주장하려고 했던 것은 사실 대수학의 기본정리까지 필요치 않고, 그것보다 더 약한 조건인 ‘n차 복소다항식이 근이 n+1개 이상이 된다면 모순이 생긴다’ 라는 조건만으로도 증명이 가능한 내용이였습니다. 그래서 굳이 위상수학같은 대학교 수학 내용이 나올 필요가 없었고, 초등적으로도 증명이 가능하였습니다.
술이 들어간 김에, 그리고 개인적인 복습을 겸 해서 조금 작성해봤습니다. 이상입니다! 읽어주셔서 감사합니다.
궁금한것이 Z_2 유한체 {0,1} 에서 x² 다항식과 x 다항식등을 서로 "같은 것으로 취급" 한다면(대응되는 함숫값이 모두같으면 같은함수로취급) 논의되는 내용 ("서로다른 " 다항식 1,x^n_1,..,x^n_k에 대해 a_0*1+..+a_k*x^n_k=0이면 a_0=..=a_k=0이 체에 관계없이 여전히성립하나요? - dc App
글쎄여 거끼까진... 술마셔서 잘 생각을 못 하겠네요.