참고로 난 수학과 아닌 공대 대학원생이라 수학 기초 궁금한게 있는데
도저히 이해가 안가서 물어보러 왔음..
1. dA/dt + f(A, dA/dx, d^2 A/dx^2) = 0
일단 위처럼 생긴 방정식이 있다고 해보자구..
f는 A에 대한 최대 2차 공간미분 항들이 포함된 함수고.. 공간 x의 범위는 유한하고.. 시간은 t=0 부터 무한까지 계속 흐르는 상황..
-> 그럼 이 방정식은 초기조건 A(t=0,x) 가 주어지면 그 나머지 시간동안의 해를 모두 풀 수 있잖아?
그냥 엄청 단순하게 작은 시간간격 정해서 A에 미분값 더해주면 바로 수치적으로 해 구할수 있으니깐..
-> 그런데 이 방정식이 거의 모든 초기조건에 대해서 시간이 충분히 많이 흐르기만 하면
시간과 무관한 unique한 해 A(t=inf, x) 에 수렴하는게 확실한 상황임.
그러니깐 시간이 충분히 흐르면 dA/dt=0 이 되도록 무조건 수렴되는거임 (dynamic systems theory 개념으로 얼추 rough하게 증명도함)
2. 그럼 이제 약간 방법을 바꿔서 기존 방정식에서 그냥 시간 미분항을 빼버리고
f(A, dA/dx, d^2A/dx^2) = 0
의 방정식을 풀어본다고 해보자고..
이것도 수치적으로 풀자면 대충 A에 대한 적절한 초기값 설정해서 iteration 방법으로 풀겠지?? 만약 다변수면 Jacobian 등등 써서 풀겠고..
* 내가 글을 병신같이 쓴거 같아서 질문 약간 수정함 ㅜㅜ
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내가 주장한 내용:
1번 문제에서, 임의의 초기값 A를 주었을때 그 모든 해가, 시간이 충분히 많이 흐르면 유한한 특정한 단일 값으로 수렴함을 Lyapunov stability 써서 증명함.
이 수렴된 상태에서 \partial A/ \partial t = 0임.
-> 이 증명으로 2번을 푸는 방식도 당연히 수렴되고 단일한 값이 도출될 것이라고 주장함. (이게 문제인듯)
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위 나의 주장에 대해 내가 들었던 반박 내용:
2번이랑 1번 문제를 수치해석 방법으로 풀때,
1번의 경우 초기조건에 대해 시간에 따른 변화를 다 추적해서 푸는 방식이고
2번을 풀때는 시간미분항이 아예 없는 상태에서 방정식을 matrix로 변환해서 inversion해서 구한다.
이 두가지 방식이 "푸는 방법"이 다르니깐
실제로 2번 방식으로 풀었을때 풀릴지 말지는 아무도 모르는건데 넌 해보지도 않고 똑같다고 우기냐..? 이런 반박을 들음
(너무 당연하게도 1번에서 구한 해 2번에 대입하면 바로 성립함.)
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이런 상황인데
1번이랑 2번의 방법의 결과가 혹시 다르다는게 가능함??
이런거에 대한 반례가 있나??
막 무한 특이점 이런거 안섞여있고 그냥 공학 문제들에서 흔히 볼 수 있는
앵간한 평범한 방정식을 푸는 상황에서 ㅇㅇ
elliptic 이랑 parabolic이랑 다르다, 뭐 이러저러한 이상한 기초 개념으로 "다르니깐 다르다"란 설명을 들었는데,
도저히 뭔소린지 이해가 안가네..
일단 다를 수 있다라는 주장에 대한 그 예시가 전혀 안떠오름
2번을 1번에 대입하면 dA/dt=0 인데 그게 답임?
ㅇㅇ 너무 당연하게도 그게 답임
난 당연하다고 생각하는데 이걸 어려운말 써가면서 안당연하다고 하니깐 환장하겠음 ㅜㅜ
그게 답이면 A(t=0)=A(t=∞)=A 인데 그냥 초기조건 A주면 그게 모든 t에 대한 답 아님? 그럼 수렴은 trivial하고. 내가 문제를 이해 못 했나?
원래는 없는 2번 조건을 니가 임의로 줘서 그런 거 아님?
아 내가 질문을 이상하게썼네.. A는 시간이 무한대로 지나면 어떤 A_{inf} (x)의 공간에 대해 특정 값으로 수렴함
예를 들어 물질에 온도장이 있고, 거기에 경계조건이 있으면 시간이 무한대로 흐르면 특정 온도 분포로 수렴하잖아? 그런 비슷한 문제라고 보면 됨
f도 t의 함수일 것 같은데?
문제를 푼 다음에 해가 수렴하는 걸 밝혀야 하는 거야 아니면 처음부터 그렇게 수렴해야 된다고 a priori하게 준 경계조건이야? 수렴한다랑 수렴해야 하는 것이 경계조건이다는 달라.
내가 보기에 니가 볼드 언더라인한 문장은 수렴이 아니라 수렴해야 하는 경계조건이야. 물리적인 흥미를 갖고 어떤 문제를 푸는 거니까 그 문제에 맞는 물리적인 경계조건이 있겠지. 시간이 충분히 지나면 thermalized 된다는.
그럼 2번을 니가 임의로 결정하면 안되지. 그걸 풀어야 하는 건데. f를 푸는게 -dA/dt, 즉 A가 시간에 따라 어떻게 변하는지 거동을 찾는 거 아냐? 풀어야 하는 답을 니가 0이라고 미리 결정하고 풀면 당연히 0이라는 잘못된 답이 나오지.
내가 질문을 너무 개떡같이 쓴거 같아서 수정함.. 내가 일단 시간미분항을 포함시킨 방정식에 대해 수렴하는걸 증명했고, 그걸로 시간미분항을 뺸 방정식도 당연히 잘 맞을꺼다 라고 내가 주장함....
A(t,x)를 찾는 거 아님? f=0은 아닐 거고. f=0이면 애초에 시작부터 열평형이 끝났다는 상황인데 그럼 문제를 풀 필요가 없고. 너는 f=0인 상황에서 시작할텐데 그럼 애초에 t=0부터 열평형이 이미 끝났다는 거고 더 이상 dynamic한 상황이 아닌데, 이건 문제의 취지랑 안 맞을 것 같은데?
ㄴㄴㄴ 경계조건이 살짝 복잡하고, 결국 A(x)를 구하는 문제라고 보면됨
내가 너무 질문을 개떡같이 썼네 ㅜㅜ
아니 내가 잘 이해를 못 해서 그럼. 근데 니가 잘못 생각한 게 맞는 것 같은게, dA/dt=0이랑 dA(t=∞)/dt=0은 다르거든? 알려진 건 후자인데 너는 전자라고 착각한 거 같다.
음 그럼 2번문제를 풀때 dA/dt=0을 만족시키는 해가 unique하지 않고 여러개 있을 수 있단 의미임??
1번에서 먼저 해를 구하면 주어진 초기조건 하에서 일반적인 (t,x)에 대한 A(t,x)를 찾은 거고 그런 일반적인 해는 특수한 2번 상황에 대입해도 성립하지만, 처음부터 특수한 상황인 2번에서 시작하면 너는 특수한 해 A(x)밖에 못 구해. 동역학적인 답이 아닌 거지.
해가 유일한지 아닌지는 또 다른 문제고.
내가 너무 자명한걸 물어봐서 오히려 너무 심오하게 생각해준거 같은데 괜스레 미안하네;;;; 그냥 공대생식 해결법으로 방법 2에 대한 코드 새롭게 짜서 계산 싸그리 다시 돌렸음. 당연하게도 결과 똑같더라.. 진작 이럴껄 괜히 설득한다고 염병질해서 시간만 낭비했네;;