G의 연산에 대해 닫혀있는 서브셋 H가
부분군인거 증명인데
e가 존재하는거는 증명했음
역원있는걸 증명해야하는데
H={a1~an}
H의원소 중 a_i를 가져와서
가정 a_i*y=e인 H의원소 y는 존재하지 않는다
함수 f(x)=h*a_i x는 h는 H의원소
여기서 이 함수가 단사여야만할거 같은데
그 이유는 H위에서는 cancellation이 안되지만
오퍼레이션을 물려받았기 때문에
단사가 아니면 G위에서
h1*a=h2*a => h1=h2 가 되어버림
이러면 모순
그래서 결국 f는 injective인데
가정의 결과로 비둘기집원리때문에 a_i*x= a_i*y 인 서로다른 x,y<H 가존재
그래서 단사가아님 그래서 가정이 모순이다
이거 맞음?
부분군인거 증명인데
e가 존재하는거는 증명했음
역원있는걸 증명해야하는데
H={a1~an}
H의원소 중 a_i를 가져와서
가정 a_i*y=e인 H의원소 y는 존재하지 않는다
함수 f(x)=h*a_i x는 h는 H의원소
여기서 이 함수가 단사여야만할거 같은데
그 이유는 H위에서는 cancellation이 안되지만
오퍼레이션을 물려받았기 때문에
단사가 아니면 G위에서
h1*a=h2*a => h1=h2 가 되어버림
이러면 모순
그래서 결국 f는 injective인데
가정의 결과로 비둘기집원리때문에 a_i*x= a_i*y 인 서로다른 x,y<H 가존재
그래서 단사가아님 그래서 가정이 모순이다
이거 맞음?
그냥 a 하나 아무거나 골라서 aH 잡으면 겹치는원소 없으니까 aH=H 고 따라서 ab=e 인 b가 있어여한다 하면 됨
아직 coset 안배워서
x in H이면 <x>가 H에 포함되므로 항등원도 역원도 H에 있음
연산에 닫혀있으니 x in H 에 대해 x^n들이 모두 H에 있는데 H가 유한집합이니 x^a=x^b인 a!= b가 반드시 존재하고 G에서 cancel 시키면 끝