[일반] 행렬과텐서

[익명(223.39)]

텐서는 행렬을  일반화했다고하는데 본질적인차이가뭐죠?
쉽게설명부탁

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

행렬은 linear고 텐서는 multilinear지

[익명(223.38)]

수학이랑 물리나 공학쪽에서 말하는 텐서는 조금 다르긴 함 본질적으로는 똑같긴 한데

[익명(223.39)]

그건저도 알아요 근데 물리적인 접근방식의 텐서는 일단 첨자를 사용한 방향이 2개인 행렬이고 이걸 어떻게 행렬과 차별화하냐고요

[익명(223.38)]

rank 2 tensor를 행렬이라고 보면 됨 물론 그 위 rank 텐서도 있고

[익명(211.207)]

첨자는 걍 component지 - dc App

[익명(211.207)]

벡터니 텐서니 스피너니 하는게 그냥 단순히 모양이 벡터나 행렬이라 그른게 아니라 좌표변환에 대해서 특정 규칙으로 변해야 벡터, 텐서, 스피너 등등이라 부르는거임. 단순히 첨자만 잇다고 텐서는 아냐 (ex. 크리스토펠 기호) - dc App

[익명(211.207)]

수학과나 물리에서 텐서라고 부르는거의 차이는 텐서장과 걍 텐서를 구분하느냐 마느냐지 큰 차이는 없음. - dc App

[익명(223.39)]

그럼 텐서는 좌표계와 성분으로 구성되있는데 이것이 좌표계의 변환에따라 일정한 성질로 변하는 좌표계와 성질의 쌍을 텐서라고 정의하면되나요?

[익명(223.39)]

책보면 텐서장의 개념이 너무 추장적이에요 위치에서 텐서로 대응하는것이텐서장인데 눈에 보이지가않아요 일단 방학하면 날잡아서 텐서공부해야겠네요 수치해석 푸리에해석 편미방정도는 떼고 졸업해야하는데 텐서까지 공부하려면 급하네요

[익명(223.38)]

수학 복전이거나 진짜 해당분야 연구할거 아니면 물리에선 그냥 그런가보다 하고 넘어가는 게 나을수도 있음 괜히 추상수학가지고 씨름해봤자 남는거 별로 없음

[익명(223.38)]

진짜 수학적으로 들어가려면 쌍대공간이니 다중선형사상이니 뭐니 하는 내용 들어가는데 물리학에서 의미가 없는 내용은 아니지만 좀 핀트가 어긋나있고

[익명(223.39)]

참고로 전 수학과입니다 텐서자체를 학교에서 다뤄준적이 없어서 혼자공부하려하는데 일단 물리적접근방식으로 공부하려고요 수학적으로 접근하는게좋을까요 아님 공학이나 물리적방식으로 접근하는게좋을까요? 혹시 수학적으로 접근하려면 잘 설명되있는 책좀 추천해주세요

[익명(223.39)]

다중선형사상의 쌍대공간을 이용하면 벡터공간의 곱에서 체로가는 사상인데 이것을 행렬화하려면 기저를 잡아야하는데 2차텐서를 예를들면 3 3행렬로만들어야하는데 자연스러운 호메오모로피즘이 정의가될까요 텐서공간을 만들어서 isomophism은 행렬과 어떻게 동일시하나요?

[Sopħ(ss590205)]

행렬은 벡터 공간들 사이 선형 사상을 특정 기저에서 표현한 거고 텐서는 벡터 공간들과 그 쌍대 공간들의 곱 공간에서 체로 가는 다중 선형 사상인데 (첨자를 썼다는 건 특정 기저에서 성분으로 표현한 것) 굳이 엮으려고 하는 이유가?

[Sopħ(ss590205)]

굳이 일반화의 의미를 찾아본다면 (1,1) 텐서를 한 벡터 공간에서 자기 자신으로의 선형 사상, 즉 행렬에 다음과 같이 일대일로 대응시킬 수 있음 (1,1) 텐서 T ≡ 벡터 v를 받아 T( ,v) 라는 벡터를 주는 선형 사상 이는 특별한 (같은, 적어도 같은 차원의 벡터 공간들 사이) 선형 사상에 해당하니 행렬을 일반화시켰다고 보긴 무리가 있지만

[Sopħ(ss590205)]

이 관점에서 선형 사상의 기저는 (임의로 잡을 수 있는) (1,1) 텐서의 기저로부터 물려받을 수 있으므로 자연스러움 물론 그런 기저는 벡터 공간에 대해 하나의 기저를 쓰는 것에 해당

[Sopħ(ss590205)]

"그럼 텐서는 좌표계와 성분으로 구성되있는데 이것이 좌표계의 변환에따라 일정한 성질로 변하는 좌표계와 성질의 쌍을 텐서라고 정의하면되나요?" 맞는데 정확힌 기저와 성분이지 같은 타입의 텐서들은 (n 차원 벡터 공간에서 (r,s) 타입 텐서라면 n^(r+s) 차원) 벡터 공간을 이루니까 특정 기저에서 모든 성분들을 특정하면 텐서 하나가 특정됨 물리 책에서 기저 대신 좌표계로 얘기한단 건 기본적으로 좌표계-기저를 암묵적으로 쓰고 있다는 뜻임 그 경우 좌표계를 (선형적일 필요 없는 transition map으로) 바꾸면 그에 따라 기저도 (자코비안 행렬에 의해 선형적으로) 바뀌니까

[asd(119.202)]

수학적인 (적절한 타입의) 텐서는 (적절한 타입의) multi-linear map들이 사는 공간(역시 벡터공간)의 원소인데, 물리학에서는 주로 다양체 위의 접공간 위에서 정의된 multi-linear map들을 다룰 때 (coordinate dependent) 쓰는 것. 굳이 정리하자면 수학에서는 그냥 linear algebra, 물리에서는 그 벡터 공간이 다양체의 접공간과 밀접한 관련이 있음. John M.Lee Introduction to smooth manifolds에 tensor 이야기가 나옴