[대학교이상] Every bounded sequence in R has a monoto

[익명(221.139)]

모든 유계인 실수열은 monotone subsequence를 가진다 증명 어케하나요? 쉬운것같으면서 어렵네요 ㅠㅠ

- dc official App

[수갤러 1(119.202)]

이걸 증명하는데 굳이 boundedness가 필요했었나

[익명(221.139)]

bounded 아닐 경우는 무한대나 마이너스 무한대로 수렴하는 부분수열이 존재해서 모노톤 부분수열이 있다는걸 보일 수 있는데 bounded일경우는 감이 안잡히네요 ㅠㅠ - dc App

[수갤러 1(119.202)]

m>n인 모든 m에 대해 a_m>a_n을 만족하는 a_n의 개수를 생각했을때 저런 a_n이 무한히 많으면 그 항들만 모아오면 monotone increasing, 반대로 저런 a_n이 유한하다고 하면 적당한 N을 잡으면 n>N인 모든 n에 대해 m>n이고 a_m<=a_n인 m이 적어도 하나 존재하니까 monotone decreasing subsequence를 잡을 수 있잖음

[익명(172.226)]

볼차노바이어슈트라스 쓰먄 될거같은데

[카카오M(kakaothh)]

이게 실수의 여러가지 성질들과 동치인 명제여서, 어느걸 가정하고 증명하는건가에 따라 달라져요. 어느책으로 보고있나요?

[BAMF(overwatch7737)]

대충 monotone하게 잡아서 모으면 됨

[고무졸직(uyau391bq71x)]

사실 R에서 모든 수열은 limsup으로 수렴하는 monotonic subseq 가 존재함

[고무졸직(uyau391bq71x)]

좀더 강하긴 한데

[연쵸(solstice4649)]

peak를 도입해보셈 peak가 유한개면 유한번하고 나서부터는 단조증가하는 수열이고 peak가 무한개면 그러한 peak들만 다 모아둔 수열이 단조감소임 - dc App