애벗 해석학에서 질문이 있습니다.
문제 17(b)의 풀이에서 we also have (fk) uniformly converging to f
라고 하는데, 정리8.2.12 가 주어진 뒤부터 이러한 가정은 찾아봐도
안보여서요. 왜 저렇게 단언할 수 있는지 궁금합니다.
아니면, 추측하건데 함수열 fk->f 이라고 가정하면, 수렴하는 수열은 항상 코시 수열이므로.
고른 수렴성에 대한 코시 판정법에 의해 코시 수열<=>고른 수렴 이어서 그런건가요??
문제 17(b)의 풀이에서 we also have (fk) uniformly converging to f
라고 하는데, 정리8.2.12 가 주어진 뒤부터 이러한 가정은 찾아봐도
안보여서요. 왜 저렇게 단언할 수 있는지 궁금합니다.
아니면, 추측하건데 함수열 fk->f 이라고 가정하면, 수렴하는 수열은 항상 코시 수열이므로.
고른 수렴성에 대한 코시 판정법에 의해 코시 수열<=>고른 수렴 이어서 그런건가요??
seq of fcn이 uniform conv 하다는건 pointwise하게 수렴하는 극한함수 f가 존재하고 임의로 잡더라도 함수열 자체가 f로 간다는거잖아 - dc App
수열 센스로 보면 수렴<=>코시니까 코시인걸 보이면 자연스러운거같은데 - dc App
수렴은 하는데 균등수렴은 안하는 반례를 만들 수 있을거 같은데
다들 뭔소리 하는거임 정의역인 [0,1]이 compact고 conti인 fk가 conti인 f로 수렴하면 균등수렴이지
함수열 fk->f 이라고 가정하면, 수렴하는 수열은 항상 코시 수열이므로. 고른 수렴성에 대한 코시 판정법에 의해 코시 수열<=>고른 수렴 이라서 고른수렴인 것은 틀린 건가요?
함수열이 코시라는걸 얘기하는 거라면 함수공간에서 거리가 어떤 식으로 정의할 건지 얘기는 해뒀겠지?
책에서는 c[0,1] 에서 별다른 언급이 없으면 거리함수는 최소상계노음이고, 그래서 완비거리공간인게 전제되어 있습니다
그럼 fk랑 fj 사이의 거리를 재고 코시수열임을 보여야하는데 지금 세팅에선 그걸 다룰 건덕지가 없음
근데 책에서는 연속함수 거리공간에 대해 코시몀 수렴이다를 증명하진 않았고, 수렴이면 코시다는 증명했어요
세팅에서는 fk->f로 수렴은 전제 되어 있고, 수렴하는 수열은 코시다는 앞페이지에서 증명되어 있는데 그러면 수렴->코시-> 고른 수렴 이렇게가 가능한 거 아닌가요?
compact가 없으면 수렴에서 고른수렴도 못가는데 뭐가 이상한거같다?
sup-norm이면 걍 conv가 uniform conv랑 차이날게 없잖나 왜 고민하는거
norm은 수렴이랑 고른수렴과 전혀 상관이 없음 코시 얘기가 나오니까 꺼낸 얘기지 norm에 따라 수렴과 고른수렴이 같아지고 달라진다는건 어디서 나온 소리냐 (0,1)에서 x^n이 0으로 가는건 norm을 어떻게 생각하는 점별수렴이고 고른수렴은 아닌데
근데 sup-norm(uniform norm)이라며... 여기선 애초에 수렴자체가 고른수렴을 보장하잖아
아 최소상계니까 이 거리보다 멀리 함수 값이 차이가 날리는 없으니, 수렴이면 고른 수렴인 건가요?
ㅇㅇ norm이 다른거였으면 안됐을텐데 댓글에서 말한대로 uniform norm(supremum norm)이라면 그냥 수렴이랑 고른수렴이랑 동치임
감사합니다. 그럼 세팅에서는 fk->f로 수렴은 전제 되어 있고, 수렴하는 수열은 코시다는 앞페이지에서 증명되어 있는데 그러면 수렴->코시-> 고른 수렴 이렇게가 가능한 거 아닌가요? 이렇게 생각하는 건 오류가 있는 건가요?
그걸 하려면 sup norm이 수렴한다고 해야지 fk가 수렴한다는 조건에서는 나올 수 없음 그리고 거리의 계산을 하지도 않았는데 그렇게 접근할 수가 없다는 거고
계속 수상하게 생각하던건데 수렴이면 코시라고 주장하는거 정확한 statement를 적어줄 수 있음? 그거 norm의 수렴이 아니라 점별로 코시라는 뜻일거같거든?
저 fk -> f가 pointwise converge를 말하는게 아닌 fk-f의 sup nom이 0으로 수렴, 즉 ||fk-f||∞ -> 0을 말하는거 맞지? Cauchy sequence라는것도 sup norm 기준으로 말한거고
하필 챕터 제목이 거리공간이라 그렇게 볼 수도 있겠다싶네 근데 그럼 in the sense of 어쩌고 붙지않나?
“수렴하는 수열은 항상 코시 수열임을 보여라” 로 되어 있습니다. 네, 책에서 특별한 언급이 없는 한 연속함수의 거리 함수는 최소상계노음이라고 되어 있어요.
이게 max norm 거리공간에서 코시인 거랑 max norm 거리공간에서 수렴이랑 함수열의 균등수렴이랑 다 동치이고 함수열의 점별수렴, 점별 코시는 그거보다 약한 조건이거든? 어디서 혼선이 있었나본데
수렴하면 코쉬인거 사실 당연한거라 굳이 보일필요가 있나 보통 수열의 수렴 처음 배울때 연습문제로 나오는거 아님?
혹시 8장의 연습문제가 아니라 아주 앞쪽의 연습문제를 말하는 거였다면 이거 지금 논의에서 전혀 필요가 없는데 점별코시인지 max norm으로 코시인지 확인하려고 물어본거라
거리공간을 다시 정의 하면서 다시 풀어보라고 문제에 나와요. R에서는 수렴과 코시가 필요충분 조건인데, 일반적인 거리 공간에서는 역명제는 성립하지 않는다면서요
책의 문장 그대로 옮기자면, (fk)를 Am,n의 수열이라고 하고 C[0,1]에서 fk->f라고 가정하자. 라고 써 있습니다
알거같아서 지웠는데 그새 달렸네 Amn이 닫힌거 보이려는 거니까 거리공간에서 수렴이겠지 그럼 다른분 댓처럼 그냥 바로 나오는게 맞음 거리공간에서 수렴->거리공간에서 코시->함수열의 균등수렴 이 순서니까
거리공간에서 코시-> 함수열의 고른 수렴 이 과정은 고른 수렴성의 코시 판정법인 코시<->고른 수렴 이 필요충분 조건 이기 때문인 거죠?
ㅇㅇ그건 동치 내가 화살표 잘못 해석해서 다른 얘기를 잔뜩 해버렸네
다른 주의할거라도 말하자면 모든 함수의 공간이 아니라 연속인 함수나 Amn에 있는 것만 보는 등 subspace를 보는 상황에서는 completeness가 보장이 안되어서 그 연습문제 얘기처럼 역방향이 안되기도 하고 다르게 말하면 closed subspace가 안될 수도 있음 지금 Amn이 closed인거 확인하는것도 그런 이유고
흠 그럼 정리하면, 함수열 fk->f 이라고 가정하면, 수렴하는 수열은 항상 코시 수열이므로. 고른 수렴성에 대한 코시 판정법에 의해 코시 수열<=>고른 수렴 이라서 고른수렴인 것 도 맞지만, 그보다는 숏컷으로 연속함수의 거리공간에서 거리가 최소상계노음이면 자명하게 수렴이면 고른 수렴인 것도 맞는 거네요
딱히 숏컷인게 아님 두 얘기 다 거리공간이 max norm으로 주어진 경우에 거리공간에서 수렴->거리공간에서 코시<->함수열의 균등수렴 얘기 또는 코시를 건너뛴 얘기를 하고있음
게다가 저 분이 바로 동치라고 얘기한건 모든 함수들의 거리공간이 complete라서 수렴과 코시가 동치라고 얘기한 것도 있고
근데 책에서는 “수렴하는 수열은 코시 수열이다” 할 때, 최소상계노음에 국한해서 얘기하고 있진 않고, 거리공간 전반에 대해서 얘기하고 있긴 합니다. 물론 연속함수 거리공간에 대해 논하려면 거리함수가 주어져야 하기 때문에 수렴이면 무슨 거리 함수에 대해서냐는 질문이 오는 것은 맞는데, 이렇게 되면 문제가 제가 제시한 두 논리에서 전자의 경우에는 거리함수를
최소상계노음이 아니라 다른 걸로 갖고 와도 성립하는 거 같아 보이지만, 후자의 논리는 틀려보이는게 차이 같아요
거리를 다른걸로 잡으면 그건 더이상 균등수렴 얘기가 아니게 되어서 못쓸거임
거리함수를 완비성이 없는 걸로 잡으면, “함수열 fk->f 이라고 가정하면, 수렴하는 수열은 항상 코시 수열이므로. 고른 수렴성에 대한 코시 판정법에 의해 코시 수열<=>고른 수렴 이라서 고른수렴인 것“ 이 논리에서는 성립하는 거 아닌가요? 완비성이 없어서 코시->수렴이 보장이 안될 뿐
고른수렴과 코시가 동치라고 하는게 max norm일 때나 쓰는 거임 진짜 제대로 뜯어보면 고른수렴의 정의가 ∀ε>0∃N>0∀k≥N∀x |fk(x)-f(x)|<ε 이건데 이게 max norm 거리공간에서의 수렴이랑 같고 complete이기 때문에 거리공간에서의 코시와 같은 거거든 max norm이 아니면 complete고 뭐고 고른수렴이랑 거리가 매치가 안됨
근데, 같은 책 6장에서 나온 고른 수렴성에 대한 코시 판정법에서는 최소상계노음이 직접적으로는 안나오고 다음과 같이 언급됩니다 “실수의 부분집합 A에서 정의된 함수 fn으로 이루어진 함수열이 A에서 고르게 수럄하기 위한 필요충분 조건은 모든 e>0에 대해 어떤 N(자연수)가 있어 m,n>N이고, x가 A의 원소이면 절댓값 fn(x)-fm(x)<e인 것이
아, 최소상계노음 단어가 직접적으로 안써 있어서 그렇지 쓰다보니 개념적으로 최소상계노음의 개념이 전제되어 있어 보이네요