자세히 공부하다보니 "집합의 집적점"과 "수열의 집적점" 에 뭔가 다른점이 있는것 같다는 생각이 듭니다. (정의의 차이든, 결과이든)
처음에는 단순히 " 수열도 집합이니까 집합의 집적점의 정의에 포함시키면 되지않을까? " 라는 자연스러운 생각이었는데
집합에서의 집적점의 (통상적인) 정의는 " 점 c 의 임의의 ε 근방에 점 c 와 다른 점 x∈S 가 존재할 때 c는 S의 집적점이다. "
이 정의에 따르면 유한집합 { -1 , 1 } 는 집적점이 없게됩니다.
하지만 수열 (-1)^n 의 집적점은 -1 , 1 이라는 결론이 있더군요. 이 수열의 치역이 { -1 , 1 } 인데 말이죠
왜 그런가했더니 이 경우에는 수열의 집적점의 정의를 " c 에 수렴하는 부분수열이 존재할 때 c는 수열의 집적점이다. " 를 채택해서 그렇더군요
이와같은 괴리감이 발생하도록 정의를 한 이유가 뭘까요?
제가 나름대로 찾은 반례(?) 는
"유계 수열이 유일한 집적점 x를 가지면 수열은 x로 수렴한다" 는 것을 증명할 수 있는데 (위의 수열의 정의를 채택하지 않더라도)
수열을 짝일때: -1 , 홀일때 : 1/n 로 잡으면
분명히 유계이고 (수열의 정의를 채택안하면) 유일한 집적점 0만을 가지는데 수렴하지 않기때문에....
이와같은 모순성을 극복하기위해 저런식으로 정의한걸까요?
집적점을 이야기할 때 유한집합과 무한집합만 구분해주면 되는 일 처럼 보이네요. 이와같은 괴리감 때문에, 어떤 책에서는 "점 c 의 임의의 ε 근방에 (점 c 와 다른) 점 x∈S 가 존재" 와 같이 c와 다르다는 말을 정의에서 빼기도 해요. 결국에 어떤 convention을 선택할것인지 취향차이에요.
그런책도 있군요! 답변 감사합니다
range가 유한집합인 simple function 생각하는거랑 별 차이없는거같은데 정의따라가보면 A-{x} 랑 nbd_x 의 교집합에 어떤 원소가 들어있는거니까 글에서의 경우면 그냥 반대쪽꺼 택하면 되는거고 - dc App
집적점을 집합내부에서 만든 수열의 극한값이 될 수 있는 점들을 모아둔 거다 라고 생각하면 둘이 비슷한 말이라는 걸 알 수 있을 거임
수열의 집적점을 따질 때는 정의역인 N을 어디다가 대응시키는지를 고려하는거니까요. (-1)^n 이라는 수열은 무한집합 N에 들어있는 모든 알갱이(자연수)들을 전부 {-1,1} 이라는 두가지 통에 넣는거에요. 하나씩 홀수는-1 에 넣고, 짝수는 1에 넣고
그럼 무한히 많은 항이 -1과 1에 대응되겠죠. 그 '무한히 많은 항' 을 보고 우린 -1과 1이 수열 (-1)^n의 집적점이라고 하는거에요.
반면 집합으로서 {-1,1} 을 볼때는 무한히 많은 항이라는 맥락이 없죠. 그냥 원소 두개일 뿐이에요. 그런데 님이 원하는 용어는 따로 있어요 집적점(accumulation point) 는 자기자신이 아닌 원소를 가져야한다는게 조건이지만 adherent point 는 그런 조건이 없어요
주어진 집합의 adherent point 를 전부 모으면 주어진 집합의 폐포(closure) 가 됩니다. 모든 adherent point 는 둘 중 하나에요. 집적점이거나 고립점이거나. 둘 다 아니면 adherent point가 아니구요. 말씀하신 1과 -1 은 주어진 집합 {-1,1} 의 고립점이므로 adherent point 입니다. 또, x가 집합 A의 adherent point 라는 것과 동치조건은, A의 원소로만 이루어진 수열이 존재해 x로 수렴하는 것이죠