어떤 집합 X에 토폴로지가 여러개 존재할 수있는데
토폴로지가 존재하기만 하면 X는 토폴로지컬 스페이스인가요?
예를들어 (T_1, X) (T_2, X) 가 있으면
X는 같은 토폴로지컬 스페이스 인가요?
X의 오픈셋의 콜렉션을 가져오는데
여기서 말하는 오픈셋이라는게
어떤 토폴로지의 원소를 가져오는지 모르겠어서요
모든 토폴로지의 오픈셋을 가져오는건지
X가 토폴로지컬 스페이스라는건
어떤 토폴로지가 딱 정해지고
그 토폴로지의 오픈셋을 가져오는지
모르겠음다
글에서 특별히 2개 이상 주는거 아니면 하나만 있다고 생각해 topological space를 space와 topology의 쌍으로 배우잖아?
T,X 둘다 고유 요소니까 위상공간을 (T,X)로 정의하는거져. 위상 T만 달라져도 다른 공간인거고. X의 오픈셋 가져오라는건 위상이 주어져 있을때 그냥 X를 위상공간이라고 부르는 관례임
집합 X에 서로다른 토폴로지 T를 부여해줄 수 있는거임. 아무리 같은 집합이더라도 토폴로지가 다르면 다른 위상공간임
오픈셋이라는건 당연히 내가 지금 사용하고있는 위상공간 (T,X) 의 T의 원소를 의미하는거임. 쌩뚱맞게 다른 위상공간 (T',X) 의 T' 의 원소를 의미하는게 아님
X를 스페이스라고 할때 T, T' 같이 "다른" 토폴로지를 생각할 수 있음 물론 둘은 같은 베이시스에서 오겠지만 comparing topologies 에 대한 이야기같은데 coarser(finer) 하다라능거 - dc App
T와 T'의 basis가 같으면 T=T'이 됩니다.
Top. Sp는 정의가 (X,T)에요. 근데 매번 T를 적어주기 귀찮고 잉크를 아끼기 위해서, 맥락상 오해의 소지가 없다면 그냥 X만 표기합니다. 그래서 "X가 토폴로지컬 스페이스"라는건 (X에 적절한 Topology T가 있고 표기할때는 생략)이 숨어있어요. 예를들어 실수에는 standard topology (열린구간이 만들어내는 위상)이 있고, discrete topology(모든 부분집합이 열린집합)가 있어요. 관례상 아무말 없이 top. sp. lR이라고 쓰는건 standard topology를 의미하고 다른 topology를 주는 경우 다른 기호를 쓰거나 특정 T를 표기하기도 해요.