[중고딩문제] (-2)^1/2 이거 정의가 진짜 이거 맞음??

[익명(211.168)]

누가 (-2)^1/2 -> 이거 정의가
제곱해서 -2가 되는 수라는데
진짜에요?

[수갤러 1(222.238)]

그럼 가짜인가요?

[익명(211.168)]

수학자들이 공식적으로 저렇게 정의한건가요?

[수갤러 1(222.238)]

그래서 하고 싶은 질문이 뭔데 돌려 말하지말고 제대로 말해보셈

[익명(211.168)]

아래 사람은 고등수준으론 설명이 불가능하다는데

[익명(gkv4pr6j0fap)]

님 수준에 설명해줄 수 없으니까 그냥 그러려니하고 넘기셈

[익명(211.168)]

고등수준으로 설명이 아예 안되는 개념임?

[익명(gkv4pr6j0fap)]

초등학생때는 자연수 내에 뺄셈은 닫혀있지 않음에도음수에 대해 제외하고 가르침중학교때는 제곱을 하였을 때 양의 실수가 나온다고 배우고고등학교에 와서 허수를 배움그 이유가 뭐일거 같음?초등학생이 뺄셈을 이해할 수 있을까?중학생이 허수 개념에 대해 이해할 수 있을까?고등학생이 복소 지수함수에 대해 이해할 수 있을까?난 분명 너에게 알려줌 (-1)^(1/8)+1=0의 근이라고 근데 그걸 이해 못 했잖아 그러니까 중등교육과정에서 제외시켰겠지 가뜩이나 복소해석학 자체가 대부분 학부 3~4학년에 배움

[익명(gkv4pr6j0fap)]

아니면 적어도 교과서에서 지수의 확장 파트에 대해 다시 읽고와봐

[익명(gkv4pr6j0fap)]

^(1/2)가 x를 1/2번 곱한다는 의미인지 아닌지부터

[익명(211.168)]

그럼 위에사람 말대로 (-2)^1/2 라는거 자체가 제곱해서 -2가되는 수 라는 정의인것도 틀린말임?

[익명(gkv4pr6j0fap)]

https://ebook.mirae-n.com/@kb2096/11

[익명(gkv4pr6j0fap)]

https://angeloyeo.github.io/2019/09/12/negative_base_exponential.html
이거
2개 정확히 읽고 이해한 다음에 니가 정확히 뭘 모르는 건지 간추려서 가져와

[익명(211.168)]

두번째링크는 404 not found 라고 나와요

[익명(gkv4pr6j0fap)]

https://archive.md/eeoYV

[익명(183.101)]

(-2)^(1/2) = exp(1/2 log(-2)) = exp(1/2 (ln2 + i arg(-2))다 log(-2)나 arg(-2)가 뭔지 모르겠지? 그래서 고등학교에서 안나오는거다 진짜 알고싶으면 다른애들 말처럼 복소해석학 책 펴라

[수갤러 2(175.208)]

a>0라 하자. 자연수 n에 대해 a^n은 a를 n번 곱한 수야. 그러면 지수법칙이 성립해. 즉, a^n*a^m=a^(n+m)이야. 이걸 활용해서 a>0일 때 a^(1/n)을 정의할 수 있어. a의 n 거듭제곱근 중 양수인걸로. 즉, n제곱했을 때 a가 되는 수 중에서 양수인 게 바로 a^(1/n)이랑 기호의 정의야. 그러면 a<0일 땐 어떻게?

[수갤러 2(175.208)]

너가 말한대로 지수법칙이란 건 더 이상 성립하지 않아. 하지만 양수일 때의 정의를 흉내낼 순 있지 않겠어? 일단 a<0일 때도 a^(1/n)을 a의 n거듭제곱근 중 양수인 거로 정의해보는거지. 즉, x^n=a의 해 중 양수인걸로 정의해 보는거지.

[수갤러 2(175.208)]

하지만 a<0이면 x^n=a의 양수해는 보통 없을테고, 대개는 복소수해가 나올테니, "a의 n 거듭제곱근 중 양수인 거"란 정의는 대개의 경우 틀렸지. 그럼 어떻게 해야 해? 수정하면 돼. 어디를 어떻게?

[수갤러 2(175.208)]

양수해가 대개는 없을테니, "양수"라는 조건을 빼자는게 수학자들의 아이디어였어. 즉, a^(1/n)을 n거듭제곱해서 a가 되는 수, 다시 말해, x^n=a의 해로 정의하는거지. a>0일 때의 정의를 확장하는거야. 이 정의에 따르면 너무나도 당연히 ((-2)^(1/2))^2=2다.

[수갤러 2(175.208)]

여기까지가 네 질문의 고등학교 수준 답변이야. 더 나가보면, x^n=a의 해는 복소수까지 가면 한 개가 아니라 n개야. 여러 개가 나오지. 즉, 앞서처럼 정의하면, a^(1/n)은 더 이상 하나의 수가 아니야. 기호로는 수 한 개인것처러 적혀 있지만, 사실은 여러 개(정확히는 n개)의 수를 나타내고 있어. 복잡해지는거지.

[수갤러 2(175.208)]

더 나아가 a^(m/n)을 정의한다거나 a^(무리수) 심지어 (복소수)^(복소수)까지로 정의를 확장하려면, 더 이상 a>0일 때의 정의를 흉내내고 수정하여 확장하는 방식은 너무 복잡하고 어려워지지. 다른 방법이 필요할테고, 그게 대학 수학과 3학년 복소함수론 시간에 배우는 거야. 나는 답을 알지만, 설명하기엔 댓글창이 너무 좁지.

[수갤러 2(175.208)]

그러나 a^(1/n) 정도까진 고등학교 때 배우는 양수 지수의 정의를 흉내내 확장할 수 있어. 그러니 너가 원하는만큼 정의를 확장해서 너가 만족하는만큼 엄밀하게 계산해서 ((-2)^(1/2))^2=-2인 걸 납득하면 충분해. 무슨 대학 수준 운운까지 갈 필요 없이. 수학이란 필요한만큼만 엄밀하면 되는 거니까.

[익명(211.168)]

아하 감사합니다!! 그럼 음수가 밑인 지수함수는 오일러공식 -1 = e^iㅠ로부터 복소평면에 그림그리는게 선행되면서 나오는게 아니라 말씀하신 수학자들이 저렇게 정의내린것으로부터 시작하는건가요??

[수갤러 2(175.208)]

내가 수학의 역사를 알지 못하니 복소함수론을 만들어낸 수학자들이 어떤 사고의 과정을 거쳐 현재의 정의(exp를 정의하고 arg를 정의하고 어쩌고 저쩌고)가 나왔는지는 몰라. 그런데 그게 역사란게 뭐 중요한가? 특정 상황이라면, 그 상황에 맞게 내가 납득할 수 있는 그럴듯한 (그리고 알고나면 정확한) 설명을 할 수 있으면 충분한거야.

[익명(211.168)]

감사합니다 이해가 안가면 공부가 손에안잡혔는데 드디어 지수법칙을 제대로 공부할수있겠네요

[수갤러 3(211.186)]

ㄴ흠 너는 수학과를 갈 인재같네

[병맛아이(ysorry258995)]

보는 내가 답답했는데 잘 해결되서 시원하네