|P(N)|=|N(R)|
자연수의 멱집합의 기수가 자연수의 기수보다 크고
[0,1)과 실수전체가 1-1대응이 되는건 이해가 되었는데
그 2개가 같다는 증명은 어떤 방식으로 이루어지나요...
1학년이라 아직 집합론 책도 없고
선배분들은 교육과인지라 임용준비 하실테니 부탁드리기도 죄송하고
교수님은 2학년 2학기때 배우는 파트라고 기수공리를 이용해 증명하시는거라고 힌트만 주시더라고요...
아무리 검색해도 안나오고
유한집합의 멱집합의 기수가 2^(유한집합의 기수)인 건 눈에 보이는데
이것이 무한집합으로 확장시켜도 되는지도 의문이 들고요... ㅠㅠ
이진법
진짜 이 정도 부탁이 미안할 정도로 숨도 안쉬고 준비하는건가
https://m.blog.naver.com/PostView.naver?blogId=lovetaehong&logNo=130076182222
이거처럼 injection 2가지를 생각하면 됨
N(R) 이 먼진 모르겠는데 P(N) 이랑 2^N 사이의 일대일대응은 이렇게 생각하면 깔끔함
P(N) 은 N의 부분집합들을 모은거잖음? A가 N의 부분집합이라고 하자. 그럼 A에 각 자연수 1,2,3,4...... 가 들어가는지 안들어가는지를 판별할 수 있겠지? 각각의 자연수가 스위치같은거라고 생각해보셈. 1이 A의 원소리면 1번 스위치가 눌려있다는거임. 3이 A의 원소가 아니라면 3번스위치는 안눌려있는거임.
가령 A={2,4,6,8,....} 이라면 길게 일렬로 무한히 늘어진 스위치들 중 짝수번째 스위치만 눌려있고 홀수번째 스위치는 안눌려있는거지. 이때 눌려있는 스위치를 1, 안눌린 스위치를 0이라고 하면 우리는 자연스럽게 함수 f:N->{0,1} 를 얻음.
반대로 이 함수 f:N->{0,1} 만 가지고 있다면 그에 대응되는 부분집합 A를 역산해내는것도 가능하겠지. 정확히 f(x)=1 을 만족하는 애들이 A를 의미할거임. 즉, f:N->{0,1} 가 임의의 대응관계라고 할지라도 {xㅌN | f(x)=1} 은 N의 부분집합이므로 P(N) 의 원소겠지. 이렇게 N->{0,1} 함수와 모든 P(N) 사이에 일대일대응이 존재하는거임. 따라서 2^N (N을 정의역으로 하고 2={0,1} 을 공역으로 하는 함슈들의 집합) 은 P(N) 과 같은 기수를 가짐
그리고 남은 질문은 아마도 P(N) 과 실수집합 R사이의 일대일대응을 어떻게 구성해내느냐는 질문이겠지? P(N) 은 방금 말한대로 2^N 과 일대일대응이니 2^N의 원소를 가지고 자연스러운 이진법전개를 생각하면 2^N 과 [0,1] 사이의 일대일대응을 만들 수 있음