U,V가 quasi affine variety들이고
p와 q는 각각 U,V의 point들일때
f : O(V)_q -> O(U)_p 라는 local homomorphism이 주어졌을 때
p를 포함하는 open neighborhoood W가 존재하여
g(p)=q이고 f를 induce하는
g : W -> V라는 morphism이 존재한다.

를 보이려고 합니다.



아래는 제가 푼 과정입니다.


X, Y가 각각 U, V를 open subset으로 가지는 affine variety라고 합시다.


그럼 k[X]_p = O(U)_p, k[Y]_q = O(V)_q임을 알고 있습니다.


k[Y] = k[t_1, ..., t_m]이라고 하면, f에 의해 주어지는 map f' : k[Y] -> k[X]_p가 있습니다.


각 index i에서 f'(t_i) = f_i / h_i라고 주어지면, h = h_1 ... h_m이라고 합시다.


그럼 f'' : k[Y] -> O(D(h))가 주어집니다.


이 때 D(h)는 affine open set이고


affine variety의 경우에는 maps of coordinate functions와 morphisms of affine varieties 사이의 1대1 대응이 존재해서


f''를 induce하는 morphism g'' : D(h) -> Y가 존재합니다.


그리고 f : k[Y]_q -> k[X]_p가 존재하므로 f^{-1}(M_p) = M_q가 성립합니다.


g''는 이 f에 의해 주어졌므로 g''(p) =q가 성립합니다.



여기서 질문은


1. g : W -> V의 존재를 보이는 건데 codomain이 Y여서 어떻게 줄여야 될 지 모르겠습니다.


2. 위의 전개 과정에서 이상한 부분이 있는지 궁금합니다.