[중고딩문제] 미분가능함수에서 평균값 정리를 만족하는 c에 대하여

[익명(mzlyy)]

f'(c)≠f'(p)인 p가 구간 내에 존재하면

f'(q)<f'(c)<f'(r)인 q, r이 모두 구간 내에 존재한다

어떻게 증명하나요??

[수갤러 1(119.202)]

아니라고 가정하면(즉, 구간내의 모든 x에 대해 f'(x) ≤ f'(c) or 구간내의 모든 x에 대해 f'(x) ≥ f'(c)) 모순이 나옴을 보이면 됨

[수갤러 1(119.202)]

그리고 p,q가 아니라 q, r이 모두 구간 내에 존재한다는걸 보이는거 아님?

[익명(mzlyy)]

오 감사합니다!!! 근데 생각해보니까 그렇게 가정했을 때 도함수가 일대일함수일 때는 열린구간 내에서 c를 잡을 수 없는 걸 알겠는데, 상수구간이 존재하면 어떻게 모순을 보일 수 있을까요?

[수갤러 1(119.202)]

대충 구간을 [a, b] 이런식으로 줬을거 같은데 만약 구간내의 모든 x에 대해 f'(x) ≤ f'(c)라면 (반대의 경우도 비슷하게) f'(x)-f'(c) ≤ 0이고, p근방에선 f'(x)-f'(c)<0이니까 f'(x)-f'(c)를 [a,b]에서 적분하면 0보다 작을 수 밖에 없고. 저걸 적분한게 f(b)-f(a)-(b-a)f'(c)인데 이게 f'(c)의 정의상 0이니까 0<0으로 모순이 나오겠지

[익명(mzlyy)]

아아 이해됐어요!! 감사합니다 좋은 밤 보내세요

[수갤러 1(119.202)]

아 근데 지금 생각해보니 도함수가 연속이라는 말은 없고 그냥 미분가능한 함수라고만 적혀있으니까 어떤 점 근방에서 f'(x)-f'(c)<0가 된다고는 말 못하고, f'(x)-f'(c)<0인 점이 구간내에 적어도 하나 존재한다고만 말할수 있겠네 엄밀하게 증명하려면 g(x) := f(x)-f(a)-f'(c)(b-a)라는 함수를 가져와서 g(a) = g(b) = 0, g'(x)=f'(x)-f'(c)를 이용해서 증명해야 할듯

[수갤러 1(119.202)]

[a, b]의 모든 x에 대해 g(x) = 0이면 g'(x)=f'(x)-f'(c)=0 for all x라서 f'(c) ≠ f'(p)인 p가 있다는 조건에 모순. 즉 g(x) ≠ 0 인 x가 존재하고(편의상 d라 명명), 그럼 a~d에 대해 평균값정리, d~b에 평균값 정리를 쓰면 g'(x) < 0, g'(x) > 0인 점들이 각각 있는걸 알아서 f'(x) < f'(c), f'(x) > f'(c)인 x가 각각 존재하는걸 보일 수 있음

[수갤러 1(119.202)]

아 g(x) := f(x)-f(a)-f'(c)(b-a)가 아니라 g(x) := f(x)-f(a)-f'(c)(x-a)

[수갤러 2(118.235)]

너가 물어보는 명제는 "([a,b]에서 연속 (a,b)에서 미분가능한) 실함수 f에 대해 (f(b)-f(a))/(b-a) =/= f'(p)인 p∈(a,b)가 존재할 때 f'(q) < (f(b) - f(a))/(b-a) < f'(r) 인 q,r∈(a,b) 가 존재한다." 로 바뀔 수 있음.

[수갤러 2(118.235)]

또, g(x) := f(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a) - f(a) 를 생각하면 (f(b)-f(a))/(b-a) = 0, f(b) = f(a)인 경우에 대해서만, 즉 "([a,b]에서 연속 (a,b)에서 미분가능한) 실함수 f에 대해 f(b) = f(a), f'(p)=/=0 이고 p∈(a,b)가 존재할 때

[수갤러 2(118.235)]

f'(q) < 0 < f'(r)인 q,r∈(a,b)가 존재한다." 를 보이면 충분함.

[수갤러 2(118.235)]

이제, 윗댓의 2번째 풀이와 비슷하지만 이를 보여보면 우선 f'(p) =/= 0 인 p∈(a,b)가 존재한다는 조건에서 f가 상수함수가 아님을 알 수 있고 f(t) =/= f(a)(=f(b)) 인 t∈(a,b)가 존재.

[수갤러 2(118.235)]

여기서 두 구간 [a,t], [t,b] 에서 평균값 정리를 쓰면, f(t)>0 or f(t)<0 인 경우에 상관없이 f'(q)>0 f'(r)<0인 q,r∈(a,b)이 존재함을 얻게됨.

[익명(mzlyy)]

좋은 풀이 정말 감사합니다!!!