[대학교이상] 혹시 해석학 문제 하나 질문 가능??

[익명(kingwangjjangzz)]

lim (x→0) 1/x*cos(1/x)

이거 극한 존재 여부 찾는건데 일반 존재하진 않을거 같은데 어떻게 보여야하는지 모르겠네...

- dc official App

[수갤러 1(123.254)]

0 근처에서 분모가 무수히 많이 0이 되서 의미없는 식임

[익명(kingwangjjangzz)]

ㅇㅇ 그래서 이게 극한값이 존재하지 않는다는걸 입델논법으로 보이려 하는데 어케하는지 감이 안잡힘... - dc App

[수갤러 1(123.254)]

원래 함수의 극한을 정의할려면 위의 경우 0을 포함하는 열린구간 I가 있을 때 I-{0}에서 함수가 정의되야하는데 저 경우 어떤 I에 대해서도 함수가 정의되지 못하는 점이 무수히 많이 생기기 때문에(0을 포함하는 열린구간의 정의역을 만들 수 없음) 극한 자체가 무의미함

[수갤러 1(123.254)]

입델논법도 a에서의 극한을 볼 때 f가 a를 포함하는 열린구간 I에 대해 I-{a}에서 정의가 되야 쓸 수 있는건데 저 경우는 그렇지 않아서 입델논법을 쓴다는것 자체가 안된다고봄

[카카오M(kakaothh)]

이건 좀 틀린설명 같은데 1/x*cos(1/x)는 0이 아닌 실수에서 항상 정의됨; 다시 생각해보니 함수를 1/ (x * cos(1/x) ) 라고 생각하는거 같은데, 내생각엔 (1/x) * cos(1/x) 일듯

[수갤러 1(123.254)]

다시 보니까 내가 잘못 본거네; 그러면 0 주변 무수히 많은 점에서 cos(1/x)/x = 1/x이고 lim x→0+ 1/x = oo이니까 입델 쓸려면 이거 이용하면 될듯

[카카오M(kakaothh)]

수렴한다 가정하고 모순보이기, 서로 다른 값으로 수렴하게 만드는 수열 두개 찾으면됨

[익명(kingwangjjangzz)]

혹시 제가 멍청해서 그런데 좀 더 자세히 설명 가능할가요 ㅠㅠ - dc App

[익명(kingwangjjangzz)]

저게 함수의 극한인데 수열의 극한으로 생각해도 되는건가요 - dc App

[카카오M(kakaothh)]

cos(1/x)/x가 0으로수렴하면, 0으로 수렴하는 임의의 수열 an에 대해서 cos(1/an)/an도 항상 수렴해야함. an=1/2npi라고 하면 cos(2npi)2npi 는 무한대로 수렴함. 이제 무한대가 아닌 다른값으로 수렴하게 만드는 수열만 찾으면됨

[익명(kingwangjjangzz)]

수열 an이 항상 수렴해야 한다는게 정의나 정리임? 난 왜 교재에서 저렇게 된다는걸 본적이 없지... - dc App

[카카오M(kakaothh)]

Thm: f(x) -> L as x->a iff for any sequence an->a, f(an)->L

[익명(kingwangjjangzz)]

어 그런게 있구나 교재 다시 한번 살펴봐야겠다 - dc App

[익명(kingwangjjangzz)]

이제 어케 푸는지 알거같음 ㄱㅅㄱㅅ - dc App

[ALTa(tladud123)]

위 thm에서 조금만 덧붙이자면 정확하게는 for any seq a_n satisfying lim a_n = a & a_n ≠ a 이에요 f(x) = 0 without x = 0 & f(0) = 1 로 잡으면 lim(x to 0) f(x) = 0 이지만 a_n = (0, 0, 0, ...) 에서 lim f(a_n) = 1 같은 반례가 있어서 본문의 문제에선 x = 0일때 아예 정의되지 않으니 큰 문제는 없음

[ALTa(tladud123)]

수렴하는 수열의 모든 부분수열은 같은 값으로 수렴한다(역도 성립) 이런거 배웠는지 모르겠는데 그 명제의 함수의 극한 버전같은거임

[익명(kingwangjjangzz)]

부분수열의 수렴성은 배우긴 했는데 함수를 수열로 보는건 내가 교재에서 못본 내용인거 같긴 함... - dc App

[ALTa(tladud123)]

뭐 따로 배우기보다는 어디 연습문제같은데 있을 법한 내용이긴 함

[카카오M(kakaothh)]

ㄴ틀린부분 지적 감사합니다