aㅌF에 대하여
P_n(F)의 subspace W:={fㅌP_n(F) : P(a)=0}
의 기저를 구하라는 문제인데
fㅌW<=> there are a_1,...a_n s.t
f(x)=a_1(x-a)+a_2(x-a)2+..+a_n(x-a)^n 이므로
{x-a,(x-a)²,..,(x-a)^n}이 W의 기저이다
라 썻는데 감점당했어요
왜냐고 따지니깐
f가 왜저렇게 표현되냐고 증명을 안해서 감점했다는데
당연한거아닌가요..?저걸 뭘 어떻게 구체적으로 증명을
해줘야되는건가요..
고딩때도 f(a)=0인 임의의 n차다항식은
(x-a)에 대한 n차식과 동치인거 잘 썼는데..
저걸 대체 뭐 어떤식으로 증명을해줘야하나요
- dc official App
P(x) = P(x-a)인것도 보이고 f(x)와 W의 원소가 일대일 대응인것도 보이고 기저집합이 W를 생성하고 일차독립인걸 보였음?
기저가 W생성&일차독립인거는 보였어요 - dc App
나같아도 감점할거 같은데 "f(x)=a_1(x-a)+a_2(x-a)2+..+a_n(x-a)^n 이므로" 라는 말을 엄밀하게 하려면 나머지정리를 사용해야함.
(x-a)Q_1(x) (x-a)((x-a)Q_2(x)+R_1) . . 해서 귀납법 써서증명하면 맞을까요? - dc App
f(x) = q_n(x) (x-a)^n + r_n(x) 가 되고, 차수에 의해서 q(x)는 반드시 상수항이 되어야 하며, 이때 이 상수항을 a_n이라 하자. r(x)의 차수는 n-1보다 작거나 같다. 그다음 다시 r_n(x) = q_{n-1}(x) (x-1)^{n-1} + r_{n-1}(x) .... 이걸 반복하면됨
조금 더 테크니컬하게는 1이 W의 원소가 아니니까 dim W<=(n-1)이고 {(x-a), ... (x-a)^n}이 선형독립임을 보이면 자동으로 기저가 됨
고딩때 썼다는 내용도 본인이 그렇게 받아들였을 뿐인거 아님? 고딩 수준이어도 translate해서 f(0)=0인거로 바꾸고 상수항을 없애고 다시 돌아오는거 얘기는 해줘야 납득할 얘기인데
이걸 그대로 선대로 가져오면 V:={fㅌP_n(F) : P(0)=0}의 basis x, ... , x^n과 Bij.lin.trans V->W, p(x)|->p(x-a)로 basis를 옮겨오는 작업을 하는거임