R^n에서 norm을 정의할 때 피타고라스 정리를 사용하던데
피타고라스 정리가 성립한다는건
곧 벡터가 직선의 형태를 띠고 있다는 뜻이잖음
n차원상에 존재하는 벡터가
직선의 형태라고 말할 수 있는 근거가 궁금
[대학교이상] n차원상에서 벡터가 직선의 형태인지 아닌지 어떻게 앎?
익명(211.36)
2024-04-18 22:04
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뭔소리임
R^n에서 벡터의 크기가 피타고라스 정리로 표현되는 기하적인 상황이 상상이 안돼서
그냥 norm을 그렇게 정의한건데 뭔 소리임
n차원에서의 벡터가 곡률을 갖는지 안갖는지 확신할 수 있음?
벡터가 도형이 아닌데 직선의 형태라니 무슨 말인지 모르겠음 질문이 norm의 정의야 R^n의 기하야?
R^n에서 벡터의 길이를 피타고라스 정리로 표현할 수 있는 근거
직선의 형태라는 말은, 책에서 보통 벡터를 표현할때 평면이나 공간 상에서 선분 형태의 그림으로 표현하다보니 그것만보고 직선의 형태라는 말을 떠올린듯
밑에 댓처럼 길이나 norm의 정의는 유일하지 않지만 책에서 standard한 녀석을 하나 잡은 것일 뿐임
왜 이게 standard인가 묻는다면 이게 정말로 너처럼 생각했을 때 나오는 선분의 길이와 같기 때문이지
솔직히 당장에 크게 와닿지는 않지만 추가적인 고민의 여지를 알게 된 것에 일단 감사를
실제로 n차원 벡터가 선분처럼 생겼는지는 당연히 모르고, 그냥 norm 정의를 기하학적인 생각에 의존하지 않고 순전히 수식으로만 그렇게 정의하겠다는것
진짜 몰라서 물어보는건데, 피타고라스 정리를 쓰겠다는 말은 곧 n차원 벡터는 선분처럼 생겼다와 동치 아닌가요? 차라리 매개변수 적분으로 곡선의 길이 구하는 것처럼 표현했다면 곡선일 수도 있다는 일말의 가능성을 염두하는거라 이해할텐데 무작정 피타고라스로 지르고 들어가니까 이게 도저히 가능한 정의인가? 싶어서
왜 그렇게 생각함? Norm은 그냥 삼각부등식만 만족하면 다 norm이라고 부르는거임. 본문은 l2 norm이지만 l1 norm이란 것도 있고 더 일반적으로 lp norm도 있고 다른 norm도 많음
norm의 정의가 다양하다는건 처음 알았습니다.. 찾아보니까 l2 norm에 관한 궁금증인 것 같은데 유클리드 n차원 벡터 공간(이 표현이 정확한지는 모르겠으나)에서 피타고라스 정리를 통한 norm의 정의를 R^n으로 확장하는 부분이 이해가 잘 안되는건 여전한지라.. 사실 수식을 통한 정의가 그렇다- 라고 받아들이면 그만이긴 한데 그건 왠지 탐탁치 않기도 하고요
고차원에서 길이나 내적같은 건 추상화된 개념이라고 생각하면 편함. 굳이 Rn이 아니더라도, 예를 들어 구간 [0,1]에서 정의되는 연속함수들에도 norm (L2 norm)을 줄 수 있음. 이렇게 정의된 norm은 더이상 우리 눈에 보이는 길이라기보단 추상적인 개념에 가깝겠지? 함수 사이에 거리가 어딨겠어
친절한 답변 감사합니다 음미해보겠습니다
그 피타고라스 정리를 우리가 생각하는 그 중학교에서의 피타고라스 정리로 생각하면 안됨 선형대수학에서의 피타고라스 정리는 좀 더 일반화 된 대수적 버전이고 기하적, 특수한 상황에서 피타고라스 정리를 의미하기 때문에 이름을 붙여놓은 거임 - dc App
감사합니다 곱씹어 보겠습니다
이새끼 경계선 지능장애임? 애미한테 교육을 못받음? 스튜어트 번역본 같은 개병신책에도 뻔히 나와 있는 개념인데 씨발
수학이 이상하다고 생각할 시간에 책을 쳐 펴라 병신새끼야
스튜어트에 l2-norm의 정의는 안나오는데?
R^n에서 선적분이 니가 지금 말하는 내용이야 병신아
벡터칼큘러스를 말하는거임? 미적분학엔 R^n에서 선적분하는 내용은 안배우는데 선적분과 norm은 관계없기도 하고
아 정확히는 l2-norm
공부를 똥꼬로 쳐 했네 애미뒤진새끼
근데 그 말에도 일리가 있는게 미적분은 1학년때 대충 흘겨보고 A+맞은거라 다시 찾아본 적도 없고 배운지 4년지나서 기억도 잘 안나긴 함
스튜어트도 다시 찾아봐야겠네 답변 ㄱㅅ
normed vector space같은걸 다루기 이전에 선적분 같은걸 다시 공부해보셈 처음부터 추상적인 것을 다루면 잘 와닿지 않을거임
스튜어트 chap.16 vector calculus 아무리 찾아봐도 R^2,3에서의 선적분에 관한 내용 밖에 안나오는데 이게 R^n(n>=4)랑 무슨 연관이 있는거임? 매개변수 적분엔 피타고라스 아이디어가 쓰이는거지 피타고라스정리를 그대로 가져다 쓰는 norm이랑은 전혀 다른 개념 아닌가?
피타고라스 정리를 이용해서 거리를 정의하는 게 아님. 2차원에서 피타고라스정리가 성립하는 거 알고 있어. 그런데 3차원 이상에서도 거리라는 걸 정의하고 싶어. 어떻게 해야겠어? 2차원에서 했던 걸 흉내내는거지. 그러면 선분이니 직선이니 하는 개념이 필요할까? 아니! 그냥 좌표를 이용한 수치계산으로 충분하잖아? 기하학적 개념 없이도 거리를 정의할 수 있잖아?
2차원 두 점 (a,b), (e,f) 사이의 거리는 피타고라스 정리 이용하면 "같은 좌표끼리 빼고 제곱해서 더한 뒤 루트 씌우기"로 계산되지? 그걸 흉내내는 거야. 3차원 두 점 (a,b,c)와 (d,e,f) 사이의 거리도 그냥 "같은 좌표끼리 빼서 제곱해서 더한 뒤 루트 씌우는 거"로 정의해버리는 거지.
더 나아가 n차원일 때도 그냥 "같은 좌표끼리 빼고 제곱해서 더한 뒤 루트 씌운 거"로 흉내내서 정의해 버리는 거야. 이렇게 정의할 때 직선이니 선분이니하는 기하학적 개념 필요해? 아니! 그냥 계산이잖아. 이렇게 정의할 때 n차원에서도 피타고라스 정리 같은 게 미리 성립해야할 필요 있어? 아니! 그냥 계산으로 정의해 버릴 수 있어! 피타고라스가 성립하건 말
그런데 놀라운 점은, n차원에서도 두 벡터 사이의 거리라는 걸 이렇게 흉내내서 정의했을 뿐인데도, "피타고라스 정리" 같은 게 n차원에서도 여전히 성립한다는 거지. 물론 고차원에서의 피타고라스 정리를 설명할 때도 직선이니 하는 기하학적 개념 전혀 필요 없어. 잘 생각해봐. 눈에 보이는 것만이 전부는 아니니까.
그리고 너는 "직선"이란 걸 뭐라고 정의할거야? R^n에서 보이지도 않는 4차원 이상에서 직선은 뭐야? 이것도 우리가 2차원, 3차원에서 했던 걸 그냥 흉내내면 되는거야. 2차원에서 직선은 뭐야? 눈에 보이는 거에 의존하지 않게 정의할 수 있어? 벡터를 배우고 있으니, 우리가 직선이라고 부르는 그 기하학적 개념을 벡터의 관점에서 정의할 수 있겠어?
2차원에서 두 점을 지나는 직선이란 걸 벡터의 관점에서 정의한다면, 두 점에 의해 주어지는 벡터의 상수배들 모아 놓은 거라고 정의하면 되거든? 이 정의를 3차원 이상으로 일반화할 수 있겠어? 맞아 가능해! 그게 고차원에서 직선의 정의야. 놀랍게도 직선을 이렇게 정의해버리면 앞서 정의한 거리와 어울려 피타고라스 정리가 고차원에서도 2차원 때처럼 성립해!
이 부분이 놀라운 거야. 좌표를 도입했더니 직선이니 하는 기하학적 그림 없이도 고차원에서 거리란 걸 정의할 수 있고, 벡터란 걸 생각하니 고차원에서도 직선이란 걸 생각할 수 있어. 보이지도 않는데 말이지. 그런데 더 놀라운 건, 2차원에서 했던 짓을 흉내내어 정의했을 뿐인데, 고차원에서도 피타고라스 정이 같은 기 똑같이 성립해! 어때? 수학 참 신기하지?
n차원 벡터가 직선인게 아니라, n차원에서 길이재는 방법이 2차원,3차원에서랑 똑같다고 가정하고 형식을 전개한 것 뿐임 기하적인 의미에서 "직선" 은 미분해서 상수인, 실수의 연결부분집합을 정의역으로 하는 어떤 함수을 의미하는 것일거임
그리고 혹시나해서 덧붙이는데, 고등학교 기하와 벡터에서는 모든 벡터를 "화살표" 라고 가르치고, 실제로 물리에서는 길이와 방향을 가진 무언가=화살표 라고 말함. 하지만 수학에서 말하는 벡터는 그런게 아니야
직선이 뭘까? shortest path임. 근데 유클리디안 놂에서 유도된 거리를 메트릭으로 갖는 공간은 우리가 아는 최소거리는 직선이 맞음 근데 휘어진 공간은 당연히 님말대로 휘어진 곡선이 최단이 됨 ㅇㅇ 이때 (리만) 메트릭은 유클리디안 메트릭이랑 당연히 다르게 정의되지... 즉 메트릭이 직선의 형태(?)를 결정함.
내가써놓고도 뭔가 불분명한데, 시각화할 수 있는 기하적 구조는 그러하는 거임