안녕하세요, 현재 집합론을 공부하고 있는 학생입니다.
ZF (Zermelo-Frankel) 공리계를 공부하다가,
멱집합 공리 (Axiom of Power set)에 대해서 궁금한게 있어서 질문하게 되었습니다.
(사족이지만, 선택공리까진 아직 가지도 못했습니다.)
제가 궁금한건, 이 멱집합 공리가 과연 공리로써 언급이 되어야 하는가 입니다.
이 공리는 '어떠한 집합이든 그 집합의 멱집합(=부분집합들의 모임)이 존재한다' 라는 것이 내용인데,
제가 볼 때 이건 다른 공리들로부터 유도될 수 있는 것 같거든요.
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한번 제가 생각한 과정을 작성해보겠습니다
1) 일단 집합 X가 주어져 있다.
2) 그럼 이 집합 X로부터, 우리는 X의 어떠한 부분집합 Y라도 얻어낼 수 있다.
이건 axiom schema of comprehension (분류 공리꼴)을 X에 적용하고, 적용 할 때는 이용하여 한다.
2-1) 참고로 이걸 이용해서 공집합 또한 뽑아낼 수 있다.
2-2) 그럼 여기서 우리는 X의 모든 부분집합을 얻어낸 상태이다.\
3) 이제 여기에서 부분집합 A랑 B를 선택한다.
3-1) 그럼 axiom of pairing (짝 공리)에 의해 {A,B}를 얻을 수 있다.
3-2) 다음, X의 또 다른 부분집합 C를 선택하여,
마찬가지로 짝 공리에 의해 {C,C}, 즉 집합 {C}를 얻는다.
3-3) 그럼 {A,B}와 {C} 로부터 짝 공리를 다시 한 번 적용하여 {{A,B},{C}} 라는 집합을 얻는다.
3-4) 합집합 공리에 의해 U{{A,B},{C}} = {A,B,C}로 C는 넣었다.
3-5) 이 과정을 계속하여 모든 부분집합을 넣는다.
그러면 X의 멱집합이 만들어진다!
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추가로 제가 생각하는 '멱집합 공리가 공리로 있어야 하는 이유'는 다음과 같이 예상합니다.
(1) 칸토어 정리, 즉 card(X) < card(P(X)) 이므로 cardinality가 더 큰 집합을 만들어 낼 수 있다.
다른 공리(union, pair 등)로는 cardinality가 급격하게 커지는 경우를 못 만들어낸다
(2) 위의 과정 중에서 2)의 과정에 axiom schema of comprehension 을 이용할 때, property를 사용하는 방법에 문제가 있다.
(3) 위의 과정 중에서 3)의 과정을 보면 A랑 B를 선택한다고 되어있는데,
이 선택한다는 생각 자체가 선택공리 (혹은 가산 선택공리)를 이용한거다.
분류공리로 모든 부분집합을 구할 수 있을까 과연 부분집합을 이미 안다면 쉽겠지만, 모른다면?
그냥 한 원소에서만 참이고 다른 원소에서만 거짓이 되는 그런 성질을 잡으면 되지 않을까요? 가령, 실수집합 R의 부분집합 중에서, 원소가 루트2 하나뿐인 부분집합 A를 잡는다고 합시다. 그럼 분류 공리꼴에서 property를 x^2 = 2 이고 x 는 양수이다 -> 요렇게만 잡으면 루트2만 포함한 집합 A가 나올 것입니다. 이런식으로 각 실수 r에 대해서, 각각의 property P_r 을 {P_r}(x) 는 x=r 일때만 참이고 나머진 거짓 이라고 한다면, 모든 실수 r에 대해서 원소 1개짜리 집합{r}을 뽑아낸 다음 위 과정들이 가능하지 않을까요?
원소를 다 알면 부분집합을 다 안다 << 얘도 애매한데 원소도 다 모른다 << 이 상황에서 그렇게 부분집합들을 구할 수 있을까? 2^(2^N) 정도만 생각해 봐도. . .
원소를 다 알면 부분집합을 다 안다는 것 조차도 애매한거였군요.... 뭔가 제가 몰랐던 부분이 또 있던 것 같습니다.... 한번 또 공부해봐야겠네요. 2^(2^N)은 정말 생각해본 적이 없네요... 잠깐 제껴두고 봐야할 것 같습니다 ㅠ 감사합니다!
2와 2-2를 다시 생각해봐. 얻는다? 이게 뭐지? formula를 통해 엄격히 적을 수 있어야지
3-5도 이상해. 도출은 유한한 과정을 통해서 이루어져야함
말씀하신대로 3-5에서 유한한 과정이 좀 문제가 될 수 있다는 것은 알겠습니다. 근데 이 부분 말고 2)에서는 애초에 분류공리꼴로부터 어떠한 부분집합이든 얻어낼 수 있는 것 아닌가요? 위에 적기도 했습니다만, 실수집합의 부분집합으로 루트2만 원소로 가지는 집합 A를 property를 설정해서 얻어내는것은 되지 않을까요? 이 생각조차 선택공리의 일환인가요?
axiom schema of comprehension은 어떤 formula가 주어졌을 때 Y가 X의 부분집합임을 보장해주는거지 임의의 집합 X에 대해 모든 부분집합 Y들과 일대일대응되는 formula의 존재성을 보장해주지는 않음
수리논리를 배우지 않은 저로써는 그 두개가 같은 말인 것처럼 느껴졌는데 (모든 부분집합에 대해서 property(=formula)를 잡을 수 있다) 고 생각했는데, 그게 아닌가 보군요. 이건 수리논리까지 공부해봐야할거 같습니다. 조언 감사합니다!