[대학교이상] 선형 함수 f: R^m \to R^n

[익명(221.164)]

선형 함수 f: R^m \to R^n의 정의역의 차원은 m이고 공역의 차원은 n인데

(a) m=n의 경우는 치역의 차원 최댓값은 n임

(b) m<n의 경우는 치역의 차원 최댓값은 m임

(c) m>n의 경우는 치역의 차원 최댓값은 n임

이 (a),(b),(c) 전부 맞는 추측임?

[수갤러 1(58.238)]

cardinality가 같잖아

[익명(221.164)]

집합론 cardinality를 물은 게 아님. 질문글에 적혀 있는 "일반적인 함수 f: R^m to R^n"은 선형대수학 관련 질문임

[익명(221.164)]

질문글에 선형이라고 수정했음

[카카오M(kakaothh)]

치역의 차원은 항상 min(m,n)보다 작거나 같음

[익명(221.164)]

치역의 차원은 항상 min(m,n)보다 작거나 같은 건 선형함수일 때만 성립함? 아니면 비선형함수 일때도 성립함?

[카카오M(kakaothh)]

비선형은 m값이랑 상관없이 (1보다 크거나 같기만 하면) 임의의 n값을 만들어낼 수 있어요

[익명(221.164)]

그 말이 비선형 함수는 치역의 차원<=min(m,n)이 성립하지 않는다는 말임?

[카카오M(kakaothh)]

네, 구체적으로 어떤 예시가 있는지 보려면 space filling curve검색

[익명(211.53)]

비선형 함수의 경우는 치역의 차원<=min(m,n)이 성립하지 않는 예시가 있구나

[익명(211.53)]

space filling curve의 하나인 peano curve가 치역의 차원<=min(m,n)이 성립하지 않는 이유가 정의역의 차원이 1이고 공역의 차원이 2인데 치역의 차원이 2이여서임?

[카카오M(kakaothh)]

네 맞아요, 그 함수를 일반화 해서 공역 n차원으로 확장 가능해요, 정의역은 1차원이지만 공역은 아무차원이나 만들 수 있음. 연속함수의 세계는 무지 이상해요

[수갤러 2(1.239)]

dimV=dim Ker(f)+dim range(f)