[일반] Compactness를 Closed and Bounded로 이해하면 됨?

[익명(223.38)]

저게 아니면 반례같은거 있음?

[morphism(injective)]

특정 위상공간에서만 성립함

[익명(210.179)]

일반적인 공간에선 당연히 아니지 compact는 metric이 없어도 정의되지만 boundedness는 metric이 필요하다

[익명(223.38)]

적당한 반례같은거 들어줄수 있냐

[익명(141.223)]

적당한 반례를 들 수가 없는게 boundedness라는 개념자체가 메트릭없이 정의가 안됩

[asd(119.202)]

1 애초에 boundedness 정의 자체가(어떤 적당히 "큰 볼" 안에 들어간다) metric을 필요로 함. 일반적인 위상 공간에서 boundedness를 어떻게 정의할거임?

[익명(88.144)]

그냥 uniform norm 하에서 정의된 ||f||<=1인 연속함수 f(x) : [0,1] -> R의 모임 같은거 생각하면 되겠네. Closed & bounded이지만 일단 sequentially compact이 아니라는걸 보일수 있으니까.

[익명(88.144)]

이건 metric space에서의 반례고, 일반적으로 boundedness는 metric space나 topological vector space 등에서는 정의가 가능하지만, 그 외의 일반적인 공간에서는 boundedness를 말할수도 없고 따라서 compact = bounded & closed 같은 형식으로 말할수도 없음.

[겨울_(silhouet72)]

당장 l^1 space만 봐도 반지름이 1인 closed unit ball이 cpt.가 아님. 왜냐면 (e_i)가 ball 안의 seq.인데 ball 안으로 수렴하는 부분수열이 하나도 없어서..

[겨울_(silhouet72)]

비단 무한차원이 아니라 R^n 같은 경우라도 metric을 다르게 주면 Heine-Borel이 성립하지 않을 수 있음. 예를 들어 R에 discrete metric(같으면 0, 다르면 1)을 주고 closed unit ball을 생각하면 사실상 R 전체인데, (n)이 R에서 이 metric에 대해 수렴하지 않으니 cpt.가 아님

[익명(223.38)]

질문자인데 그러면 적당한 metric space에서는 일반적으로 성립되는 말임?

[익명(141.223)]

ㄴㄴ 언제나 그렇게 되진않음

[익명(141.223)]

하지만 음 만약 주어진 메트릭 공간이 1가산 완비공간이라면 아마 답이 예스일 거 같음

[ns(qwer2357)]

그것도 안됨. Metric이란게 기본조건 몇개 외엔 삼각부등식만 만족하면 되는거라서 예를들어 실수위에서 d(x,y)=max(|x-y|, 1)로 줘도 metric이 됨. 저 metric하에선 당연히 모든 집합이 bounded가 되는데 저 metric이 만드는 위상은 그냥 R의 위상이랑 동일함(충분히 작은 open interval만 가지고도 모든

[ns(qwer2357)]

open set이 만들어지기 때문에) 나중에 위상에서 배우겠지만 저 반례를 피하기 위해서 totally bounded란 개념을 배움. 그리고 closed대신에 complete를 써서 앞서 말한 하이네보렐 정리를 확장하게 되는데, 일단 그건 나중얘기니까