meromorphic 정의가 먼저인가요 pole의 정의가 먼저인가요?
전 실버만으로 공부하고잇는데 여기선 pole을 먼저 정의함
그리고 pole정의 자체에 isolated singularity라는 전제를 깔고감
그래놓고 zn이 z0로 수렴하는 pole들로 이루어진 수열이면 z0는 pole이 될수없음을 증명하라는데
z0가 pole이되면 isolated singularity가 되니깐 근방에 특이점이 없어야 해서 바로 모순이잔슴..
(isolated singularity 정의는 there exists delta>0 s.t. f(z) is analytic in 0<lz-z0l<delta)
그래서 isolated 여야한다는 가정없이
그냥 lim zn->z0 f(z)(z-z0)^k가 0도아니고 무한대도 아닌 자연수k가 존재할때 z0를 pole이라고 부른다고 치면
이때는 또 f(z)에 아무런 조건이없으면 안될것같아서
위키를 보니 f(z)가 meromorphic일 때 pole을 위처럼 정의하더군요
하 이게 또 갑자기 아무말된것같은데
어쨋든 pole의 정의를 다른책에서는 어케하는지, pole은 항상 isolated되어잇다는것을 어떤 의미에서 받아들여야하는지가 궁금햇어요..
A function is meromorphic in U if every point of U has a neighbourhood such that either f or 1/f is holomorphic in it. 라고 위키에 있는데 이걸 따른걸수도? 근데 책에 있는 문제면 책의 정의를 따르는게 맞는데
Stein에서도 정의에서 직접 언급은 안 했긴 한데 사실상 isolated singularity인걸 깔고 감. 그냥 속편하게 '1/f (단 z_0에서 정의 안 되면 0으로 함숫값을 줌)의 zero들 중에서 근방에서 1/f가 holomorphic인 것들'을 f의 pole이라고 부르기로 하면 될 거 같기도 하고..