저 글에서 육십분법을 썼을 때 계수가 곱해져서 더러워진다는 게
라디안이 기본 단위라고 '전제'해두고 육십분법에 대해서 음함수 미분을 해서 더러워지는 거 아님?
처음부터 육십분법을 쓰면 더러워질 일이 없지 않음?
그렇게 생각하는 이유는 삼각함수의 도함수 유도과정에서 계수가 곱해질만한 부분은
lim h->0 {sin(x+h)-sinx}/h를 덧셈정리를 써서 풀어헤쳤을 때
lim h->0 sinh/h인데
각도의 단위가 뭐든간에 저 극한값은 항상 1이니까
그러니까 저기 보면 sinㅠ/180~~ 어쩌고 돼있는 부분이 그냥 육십분법으로 실수각을 애초에 정의했으면 sinx일 텐데 라디안 기준으로 번역하느라 더러워진 게 아니냐는 뜻임
1회전을 360등분한걸 1도라고 각을 정의하면 직각삼각형의 변의 비로 정의되는 sin의 정의도 달라질거고 sin30=1/2, sin90=1처럼 정의되어야 합리적일거임 이렇게 정의된 y=sinx의 xy평면에서 dy/dx|x=0을 보면 π/180이 나오기때문에 식이 더러워지는게 맞음
오 맞음 내가 궁금한 게 그거임 근데 마지막 dy/dx|x=0 이게 왜 그렇게 되는지 모르겠음 단위에 상관없이 f(x)->0일 때 sinf(x)/f(x)=1이니까 pi/180이 아니라 1이어야 되는 거 아님?
f(x)는 x(rad)이든 x°이든 아니면 1회전을 100으로 새롭게 정의하든 상관없이 극한값이 일정하다는 걸로 봐주셈
너가 말한 sin은 라디안으로 정의된 sin이고 sin90=1처럼 육십분법으로 정의된 sin은 sinx/x가 1로 수렴하지 않음
sin90°=1이랑은 좀 다르지 아늠? 각의 단위를 뭘로 잡든 간에 0은 시초선과 동경이 일치하는 각일텐데 sinx/x 극한이 0으로 갈 때의 부정형 극한인 건 맞지 않나? 내 생각은 그럼
각을 정의할 때 sinx에서 sin 안에 들어가는 x랑 분모의 x가 같은 건 당연하다고 치면 그런 거 같음
좌표평면에서 x=1만큼의 각을 1도라고 보면 (d/dx sinx|x=0) = pi/180이 되고 x=1만큼의 각을 1 라디안으로 보면(d/dx sinx|x=0) = 1이 되니까
주장은 잘 이해했는데 내 생각은 전자의 값도 1이라는 생각임 이유는 내가 위에 쓴 것과 같음 아마 너는 분모의 x는 라디안으로 두고 분자의 x만 °로 계산한 게 아닐까 싶음(아니라면 ㅈㅅ)
근데 우리가 삼각함수 계산을 degree로만 하는게 아니니까 처음부터 육십분법만을 쓰는게 불가능하지않나
삼각치환 같은것만 생각해봐도 삼각함수는 각도 외의 다양한 곳에 활용이 가능한데 모든 x값의 단위를 deg로 쓸 이유가
사전적으로 육십분법을 정의할 때 실수로써 정의하면 각 이상의 의미를 갖는 거지
밑 글에 댓글에도 누군가 얘기했는데 sin(x°)/x° 같은것도 직관적으로 정의할 수 없음 따로 x° = pi*x/180 같은 식으로 정의를 하고 실수의 계산에서 빌려와야 계산이 가능한거고 굳이 이런 불필요한 짓을 할 이유가
아니지 그 관계식도 라디안만을 실수로 인정하고 사후적으로 육십분법을 정의하기 때문에 생기는 번거로움이지
'라디안의 입지를 육십분법이 대체한다면'이 대전제라고 봐주면 감사하겠음
실수의 성질을 바탕으로 새로운 단위를 정의해서 불필요한 계산량을 늘린다 이거 미국단위계같은데 굳이 그런 짓을 해야할까요 가능하다의 측면에서 가능할수는 있어도 필요성의 측면에서 보면...
ㄴㄴ 늘린다는 게 아니라 제가 고1 때부터 궁금해왔는데 해소되지 않은 궁금증이어서 육십분법이 입지를 대체했을 때의 문제점을 알아보고자 한 거임 갑자기 다시 의문이 다시 든 이유는 삼각함수의 미분에서의 깔끔함이 라디안을 쓰는 이유라고 알고 있었는데, 그게 아닌 거 같다는 생각이 들어서
문제점 차고 넘치는데... 당장 내가 앞서 말한 삼각치환의 예시로 1/sqrt(1-x^2)의 적분이 arcsin(x)로 나오는데 이걸 처음부터 바꿔서 1/sqrt(1-x°^2)의 적분을 계산한다...? 여기서 x를 x°로 환산하는 작업을 안 거칠수가 없음
그걸 굳이 사후적으로 환산할 필요가 없지 그냥 관계식 무작정 대입하면 더러워지는 건 당연함 요지는 정의를 대체하면임 만약 정의를 대체해도 직관적으로 더러워진다는 걸 알 수 있다면 인정이지만 윗 댓글에서 논의와 같이 육십분법으로 대체해도 sinx같은 경우엔 도함수가 여전히 cosx이게 됨
그러니까 내 질문은 그게 필요한 행위인가? 에 대한 질문임 삼각함수는 삼각함수끼리 움직이는 것 같지만 실제로는 분수함수, 지수함수, 그 외 각종 수학적 함수들과 엮여져서 나타남 (내가 앞서 말한 것처럼 각종 적분이 삼각함수의 역함수로, 오일러 등식 e^(xi) = cos(x) + isin(x)등에서 지수함수의 한 형태로) '삼각함수에서 쓰는 단위'를 °로 대체하면서 동시에 실수를 °로 대체하지 않으면 계산의 지저분함이 발생할 수밖에 없다는 얘기임 그리고 그렇게 실수를 대체하는건 말이 안되고
난 영향력도 추진력도 지식도 없음 대체해야 한다고 주장하는 것이 아님 단지 대체하는 상황을 가정했을 때 어떤 문제가 생기는지 구체적으로 알고 싶을 뿐임 그리고 내가 알고 있던 그 문제중 하나가 육십분법은 미분했을 때 더러워진다는 거였는데 그게 아닌 거 같아서 물어본 거임 교육과정상 라디안의 당위성에 대한 설명이 부족하기도 하고, 여기에도 기존이 알던 공식이 육십분법으로 정의되면 구체적으로 어떻게 변화하는지 알 사람은 적을 거라고 생각함 두 단위의 관계를 표현하는 식은 더러워보이지만 나는 의외로 많은 것들이 각의 단위와는 독립적이라고 생각함
음... 그러니까 거의 모든 부분에서 문제가 발생함 삼각함수는 각도나 단위원의 좌표로만 정의되는것 같지만 사실 테일러급수로도 정의할 수 있고 (sin(x) := x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...) 삼각함수의 성질이라고 알려진 것들은 이러한 정의로도 유도가 가능해야 함 즉 정의라는 건 철학적인 면도 있지만 다른 성질들과 호환적 면도 있음 꽤나 많은 수학적 정의들이 그게 처음 학자들에 의해서 정의되었을 때와 지금 교재에서 정의해놓는게 다름 그런 면에서 삼각함수의 단위를 °로 정의하는 건 당연히 계산상의 지저분함을 유발하고 (dsin(x°)/dx는 cos(x°)가 아님. dsin(x°)/x° = cos(x°)가 되는건 맞지만, 수학에서 d/dx°를 사용할 일이 거의 없음)
이걸 해결하려면 수학에서 사용하는 모든 실수를 °를 기준으로 보아야 한다. 그런데 이것이야말로 더욱더 불필요한 작업을 초래하게 되므로, 육십분법으로 공식으로 정의하지 않는다 가 내가 하고싶은 말
정성스러운 답변 정말 감사함 근데 내 의견이랑 안 맞는 부분이 있는데 먼저 dsin(x°)/dx는 라디안 기준의 미분법임 dx가 d(rad)인 거고 따라서 욱십분법이 기준이라는 대전제에서 벗어남 그리고 경제적인 면은 고려하지 않는 게 맞다고 생각함 이게 위에서 말한 "대체하는 게 필요한 행위인가?"랑 관련 있다고 생각하는데 역시 실현가능성은 요지가 아니라고 생각함 테일러급수는 정의 보고 왔는데 삼각함수 기울기랑 관련있네 이건 안 더러워질 거라고 확신함
경제적인 비용은 이미 있던 정의를 대체하는 걸 말하는 거임 계산상 더러워지는 건 당연히 고려해야 한다고 생각함
그러니까 그 주장(육십분법이 기준이라는 대전제)은 결국 '실수의 기본 단위를 °로 써야 한다'와 동치가 될 수밖에 없는 주장인거고, 그렇게 해서 얻어지는 이점이 (실제 세상과의 연관성(물리적인 부분)이든 그 외 수학적 부분과의 연관성이든) 없기 때문에 쓰지 않는다는 말임
결과적으론 당연하게 그렇겠지 애초에 대부분의 정의와 공리가 그럴 것임 그게 아닐 때를 살펴보고 싶은 거고 이건 실용적 궁금증이 아님 수학도 그런 분야라고 생각하고
뭐 궁금증이 해소됐는지는 잘 모르겠는데 어쨌든 내 말은 다 이해한 듯 싶으니 그 설명은 여기까지만 하고 다만 마지막 말에 대해 하나만 다른 말을 더 얹자면 실용성은 수학에서도 필요함. (그게 일반인-수학 비전공자-이 생각하는 실용성을 의미하는 것은 아님) 새로운 정의가 다른 수학적 대상에게 어떤 영향을 끼치는가? 새로운 접근이 가능해지는가? 새로운 결과를 도출해내는가? 실례가 있는가? 등등을 고려하지 않는 것은 무의미하다고 생각함 뭐 학문이 아니라 취미의 영역에서는 뭘 하든 상관없겠지만, 그래도 (취미의 영역에서라도) 생각의 방향성을 '이걸로 뭘 할 수 있는가?'에 맞춰보면 더 즐겁고 방향성이 잘 뻗어나가는 수학이 될 것이다
난 수학에 대한 일련의 가치판단 자체가 불필요한 억압이라고 생각함 가능성을 항상 열어두고 궁금한 것 위주로 탐구하는 편임 물론 그게 님의 철학이라면 존중하고 개인적인 성취를 극대화하는 방향일 수 있겠다고 생각함 하지만 동의하는 바는 아님 이에 대한 논의하는 것 자체로도 충분히 재미있기도 하고... 그리고 님의 가치판단 기준에서도 벗어나는 주제도 아니라고 생각함. 새로운 접근이라는 대목에서. 특히 테일러급수는 직관과 다르게 기존만큼 깔끔하게 정의됨
수학이 취미가 아니라 '학문'이라는 점에서는 반드시 필요한 부분이라고 봐요 (그런 점에서 취미의 영역이라면 뭘 하든 상관없다고 한거고) 뭐 이거에 동의 안하시면 어쩔 수 없는 것이고~ 밤이 늦었는데 좋은 밤 되시길
학문으로써 수학의 역사도 원주율 무작정 많이 구하기, 상용로그표 계산하기, 20자리수 소인수분해 등등 현재로썬 아무 의미 없어보이고 위의 가치판단 기준에 부합하지 않는 자기만족적 노가다 역시 있었기에 발전해올 수 있었다고 생각합니다. 덕분에 전공자의 의견 들을 수 있는 좋은 기회 얻게 되었네요 감사합니다
육십분법은 도 단위를 쓰는 것에서 끝나지 않음. 1도 보다 작은 크기를 서술하기 위해 1도를 60등분한 1분을 사용하고, 그보다 작은 단위를 쓸 때에는 1분을 60등분한 1초를 사용함. 그리고 소수점은 초보다 작은 단위를 쓸 때 초 수준에서 사용된다고 함. 육십분법을 쓰면서 45.5도 라는 표현을 쓰기도 하지만, 사실 육십분법을 사용한다면 45도 30분이라는 표현을 사용해야 맞는 것임.
세밀한 각 표현을 하려면 45도 30분 23.12342..초 이렇게 초 단위 가서야 소수점 정도를 쓸 수 있게 된다는 것이 육십분법의 정의. 여기서 이미 우리가 삼각함수 수준으로서 다루고 싶은 정의와 맞지 않음. 정의역 자체가 유리수, 그것도 분모가 60인 것을 기반으로 이루어지는 유리수들 뿐임. 이는 실수 전체에서 정의가 안된다는, 이후 해석학 전개에 있어서 치명적인 결함이 있다는 것임.
따라서 육십분법 자체에서 단위를 빼고 그걸 실수로 대체하면 되지 않느냐?(=루트2도 같은 것도 그냥 간격 생각해서 다 정의하면 되는 거 아니냐?) 하는 질문은 육십분법 자체를 '도'만 사용하는 방법일 뿐, 라디안과 본질적인 차이는 없는(즉, 정의역이 실수 전체인 것은 마찬가지인) 것으로 오해한 것에서 나온 것 같음.
사실 도 단위를 그냥 실수로 쓰면 되는 거 아니냐 하는 말은 기존의 육십분법이 가지고 있는 도, 분, 초, 이후 소수점으로 각을 표기하겠다는 원칙을 다 갈아엎고 도만 사용해서 거기에 실수로 정의역을 확장하겠다는 것이라서, 그 때부터는 사실 육십분법(60개로 나눠서 다음 단위를 만든다)이라는 개념과는 동떨어진 작업이 되는 것임. 따라서 이런 부분까지 다 감수하면서까지 도에다 실수를 넣고 싶은가 하는 지점을 생각해보면 실질적으로 정의역 자체가 실수인 라디안을 채용하는 것이 합리적일 것이라고 생각해.
요약하자면 1) 도를 실수 전체로 확장해서 정의하겠다는 시도는 기존에 있던 육십분법의 방법을 '도' 빼고 다 버리겠다는 뜻이므로, 오히려 부자연스러움.
2) 라디안을 사용하는 이유는 실수 전체에서 정의된다는 성질에서 오는 것 같음.
이정도면 라디안을 사용하는 당위성이 좀 더 와닿을 것 같음. 그냥 단위만 바꾸자기엔 육십분법 체계는 이미 단위를 너무 만들어놔서 생각보다 정의역 확장이 육십분법의 방식과 겹치게 되기가 어려운 부분이 있음. 나도 같은 생각으로 고민해봤는데 고등학교 때 알아낸 것이 이 설명이었음.
어휴 바보들