[대학교이상] 선형대수 문제 질문

[익명(118.235)]

V는 uncountable basis를 갖는 임의의 Vector Space

T : V->V는 linear transformation

T_n은 T를 n번 합성한 함수라 할 때

T_1,..,T_n은 Zero mapping이 아니지만

T_(n+1)은 Zero mapping이 되는

T가 임의의 자연수 n에 대해 존재함을 증명하고싶은데

어떻게해야할까

- dc official App

[카카오M(kakaothh)]

countable만 되도 가능. Strictly upper triangular matrix는 충분히 많이 곱하면 0이 된다는걸 이용하면 됨. 구체적으로 쓰자면, V에서 countable linearly independent set v1,v2,v3,...를 잡고 얘를 basis로 확장. T를 어떻게 줄거냐면, v1 ->0, v2->v1, v_3->v2 ... vn->v_{n-1}으로 보내고 나머지 basis vector들은 전부 0으로 보내는걸 생각하면될듯

[익명(118.235)]

아 그렇네요..! countable일때는 저도 증명하긴했는데 다른방식으로해서 uncountable일때로 확장이안됐는데 이렇게주면 uncountable일때도 되네요. 감사합니다 - dc App

[익명(118.235)]

저 논리가 유한차원에서 성립하려면 V의 차원이 항상 n이상이어야하나요? 구성방식을보면 n차원미만일땐 그런 T가 존재하지않을거같은데 - dc App

[카카오M(kakaothh)]

유한차원은 안되요. 왜냐면 T의 minimal polynomial은 무조건 characteristic polynomial 을 나누어야해서 벡터공간의 차원보다 낮을 수 밖에 없어요.

[카카오M(kakaothh)]

그래서 m차원공간에서는 저런조건을 만족하는 n의 최댓값은 m이 될거에요

[익명(180.68)]

이지! 트리비얼! 벗 이퓨 돈 언더스탠, 댄 스터디 하드!