[대학교이상] Prove that f is continuous on R

[익명(211.207)]

f is a real valued function on R.

{(x,y) in R^2 | y <= f(x) } and {(x,y) in R^2 | y >= f(x) } are closed in R^2.

Prove that f is continuous on R.

이거 역은 쉽게 보였는데 이건 잘안되네요 ㅠ

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[존내쉬의존내쉬운수학(economic1530)]

첫번째 집합을 down이라고 하고 두번째 집합을 up이라고 할게그리고 모순을 보이기위해 f가 실수위의 한점 x_1에서 불연속이라고 가정함그렇다면 엡실론중 특정한 엡실론o는 그 어떤 델타에 대해서도 다음성질을 만족함 |x-x_1|<델타 안의 무수히많은 x에대해|f(x)-f(x_1)|=<입실론o이걸 기억해두셈이제 (x_1, f(x_1)-입실론o)을 보면 이점은 down에속하고 up에는 안속함만일 이점이 up의 집적점이면원래의 up이 closed라는 가정에 위반됨또, (x_1,f(x_1)+입실론o)을 보면 이점은 up에 속하고 down에는 안속함만일 이점이 down의 집적점이면 원래의 down이 closed라는 가정에 위반됨이걸 또 기억하셈 - dc App

[존내쉬의존내쉬운수학(economic1530)]

이어서 한다 |f(x)-f(x_1)|<입실론o 를 변형해서 f(x)=<f(x_1)-입실론o or f(x)=>f(x_1)+입실론o 이지? 근데 어떤델타가 주어지면 x가 무한히 많잖아 그러니까 >= 든 <=든 둘중하나는 어떤 델타에 대해서도 무한히 많은 x에대해 참이여야 함 이건 쫌 고민해봐야암 그러면 아까전에 up에속하면서 down에는 안속하는 점 있었자나 걔가 down의 집적점이거나 down에속하면서 up에는 안속하는 걔가 up의 집적점이거나 둘중하나는 참인게 증명이됨 귀찬하서 너가 나한테 칭찬해주면 그증명써줄께 - dc App

[존내쉬의존내쉬운수학(economic1530)]

그러니까 결과적으로 원래의 조건에 contradiction이니 x_1에대해 연속이여야하고 x_1에 대해 어떤 가정도 안했으니 모든 실수에서 연속이다 - dc App