[일반] 이거 어떻게 증명할까요

[익명(223.33)]

(1+x/k)^k =< e^x (x는 [-k, 0]에 있고 k는 자연수)

[김이요°(karma5)]

(1+x/k)^k=(1+x/k)^(k/x)x

[익명(223.62)]

그게 저 부등식을 imply 함?

[가환대수(evariste1)]

사실상 수열 (1+1/k)^k가 모든 자연수 k에 대해서 e보다 작다는걸 증명하는 문제라고 생각하면 됨. 일단 그걸 증명하고 그담은 첫댓의 등식을 쓰면 되고

[가환대수(evariste1)]

e의 정의로부터 (1+1/k)^k가 monotone increasing함을 증명하면 되는데, 이건 걍 binomial expansion하면 간단하게 증명됨. 디테일은 알아서

[익명(223.33)]

x가 음수라 잘 안되는거 같은데..

[익명(223.62)]

x가 음수라 잘 안되서 질문한건데 (1+1/k)^k가 증가인거랑 어떻게 연결해야됨? 저거 증가인거 보이는게 k+1일 때랑 k일 때 직접 빼서 항마다 양수인거 보이는건데 x 음수일 땐 같은 방법 안되지 않나

[33(14.52)]

x/k 변수로 잡고 미분하는게 제일 확실할 거임 - dc App

[33(14.52)]

아니다 걍 치환하면 y가 0 아닐 때 1+y<e^y 임으로 증명가능이네 - dc App

[33(14.52)]

y<0일 때 (1+y)^(1/y)>e - dc App

[익명(223.62)]

일단 -k보다 작은 곳에서 부등식이 성립 안되는 점이 있는데(당연히 k가 짝수면) 위의 풀이들이 특별히 내가 말한 구간에서 성립된다는걸 보여주나

[33(14.52)]

-k보다 작아도 성립하지않냐 - dc App

[익명(223.62)]

아 그냥 너 말대로 하면 되네..구간 문제도 해결했다

[33(14.52)]

1+x=<e^x는 뭘 넣어도 맞는 식인데 - dc App

[익명(223.62)]

k가 짝수면 2차 4차 이러는데 -k보다 작으면 다시 올라가서 e^x 뚫고 올라가는 점이 생김

[익명(223.62)]

어쨌든 그걸로 해결했음 ㅋㅋ ㄱㅅ