[중고딩문제] 수학 고수님들 질문 하나만 받아주세요ㅠㅠ

[익명(223.39)]

이 문제 풀이과정이 양변에 x²+1을 곱해서 x에 대한 이차방정식으로 보고

판별식 써서 x가 실근을 가지기 위한 y의 범위를 구하면 그게 답인데

x가 실근을 가지는 y의 범위가 y의 해집합인 걸 어떻게 아나요?

전자가 후자를 포함하는, 더 큰 집합일 수도 있는 거 아닌가요?

[수갤러 1(211.207)]

답72임? - dc App

[익명(223.39)]

예

[수갤러 1(211.207)]

a=b라고 두고 풀었을때 최대값이10, 최솟값이 2이므로 a=b=6을 얻는데 일반적으로 a !=b 일때 만약 a^2+b^2값이 달라지면 문제가 성립안되서 답은 72 - dc App

[수갤러 1(211.207)]

수능같은데서는 답이 무조건 유일하게 존재해야되서 이렇게 풀어도 무방할듯 - dc App

[익명(223.39)]

답 구하는건 본문에 나온 풀이대로 하면 찍을 필요 없어요 한층 더 엄밀함을 추구하기 위해서 여쭤본거예요

[수갤러 2(211.234)]

y가 x에관한 함수라서 x에 의존해서 님이말한대로 풀수가 없을것같은데 정석적으로 풀려면 y를미분해서 극값을 가지는 x점을 구한다음 x가 무한대로 갈때 y는 a로 수렴, x가 마이너스 무한대로 갈때 y는 a로 수렴하기때문에 극소가 최소, 극대가 최대 일케해서 풀어야되는데 a!=b이면 계산 더러움 - dc App

[수갤러 3(223.39)]

이차함수 근의 공식의 유도 원리가 단순 식조작이라서 괜찮아용 상수의 특성을 쓰는게 없어요

[수갤러 2(211.234)]

y가 그냥 y가 아니라 y(x)인데 님말대로 양변에 x^2+1곱하고 x에 대해 식정리 하면 (a_y(x))^2x^2 +8x + (b-y(x))인데 여기서 판별식을 쓴다고요? y가 상수가 아니고 x에 의존하는데 - dc App

[수갤러 4(223.39)]

상수의 특성을 쓰는게 없어용

[수갤러 2(211.234)]

님이 말하는 상수의 특성이 머임? - dc App

[수갤러 5(223.39)]

종속적이여도 일반적으로 성립해용

[수갤러 2(211.234)]

아 오타있음 (a-y(x))임 - dc App

[수갤러 6(119.202)]

(x^2+1) > 0이니까 그냥 단순히 2 ≤ (ax2+8x+b)/(x2+1) ≤ 10에다 x^2+1을 곱해서 2x^2+2 ≤ ax^2+8x+b ≤ 10x^2+10이 되고, 정리하면 0 ≤ (a-2)x^2+8x+(b-2) 과 (a-10)x^2+8x+(b-10) ≤ 0이 나오니까

[수갤러 6(119.202)]

임의의 2차 방정식 ax^2+bx+c에 대해서 판별식이 0보다 크면 서로 다른 두 근을 가지기 때문에 필연적으로 ax^2+bx+c가 0보다 큰 값을 갖는 x, 0이 되는 x, 0보다 작아지는 x가 모두 존재하게 되고, 판별식이 0보다 작은경우엔 실근을 안갖기 때문에 a의 부호에 따라서 항상 양수 or 항상 음수가 돼버림

[수갤러 6(119.202)]

문제에선 최대, 최소가 10, 2라고 했으니 (ax2+8x+b)/(x2+1)=2를 만족하는 x가 있다는 얘기가 되고, 그 말은 0 ≤ (a-2)x^2+8x+(b-2)에서 등호를 만족하는 경우, 즉 (a-2)x^2+8x+(b-2) = 0인 x도 있다는 말이 되니까 필연적으로 판별식이 0이 될 수 밖에 없음

[수갤러 6(119.202)]

간단히 하면 (a-2)x^2+8x+(b-2)에 대해 1) 판별식이 0보다 크면 (a-2)x^2+8x+(b-2) < 0 인 x가 존재해서 0 ≤ (a-2)x^2+8x+(b-2) 라는 조건에 맞지않음. 2) 판별식이 0보다 작으면 (a-2)x^2+8x+(b-2)=0인 x가 존재하지 않아서 최소값이 2라는 조건에 맞지않음. 3) 판별식이 0이어야 모든 x에 대해서 0 ≤ (a-2)x^2+8x+(b-2)을 만족하고, 특정 x에선 등호도 성립o 마찬가지로 (a-10)x^2+8x+(b-10)의 판별식도 0이 될 수 밖에 없고

[수갤러 6(119.202)]

혹시 답지의 풀이라는게 y(x^2+1) = (ax^2+8x+b) => (a-y)x^2+8x+(b-y)=0이 되고, 이게 y=2, y=10일땐 근을 갖고, 2미만이나 10초과에선 근을 안가지니까 D/4 = 16-(a-y)(b-y)가 y=2,10일땐 0이상, y<2나 y>10일땐 0미만이라 16-(a-y)(b-y) = -y^2+(a+b)y+16-ab가 -(y-2)(y-10) = -y^2+12y-20랑 같아져서 a+b=12 / ab=36가 나왔다는거임?

[수갤러 7(118.33)]

이게 맞다 - dc App

[수갤러 7(118.33)]

판별식이 0보다 크면 2차방정식은 두 실근을 가짐 판별식이 0이면 2차방정식은 1개의 실근을 가짐 판별식이 0보다 작으면 2차방정식은 실근을 갖지 않음 이거랑 모든 실수 x에 대해 2(x^2+1) <= ax^2+8x+b <= 10(x^2+1) 이용해서 왼쪽 부등식에서 판별식이 0, 오른쪽 부등식에서 판별식이 0 쓰면 (a+b)=12, ab=36이 나오고 a^2+b^2 =144 - 72 = 72 - dc App

[수갤러 8(223.39)]

아 길게 썼는데 실수로 다지워졌네여 정석 본지 한달 된 입장으로 간단히 맗하자면 저 해집합을 어떠케 아느냐가 아니라 그냥 전제로 최대최소범위를 준겁니다 만약 해집합을 달리하면 즉 최대최소 범위를 달리하면 a^2+b^2 답이 72가 아니라 주어진 범위에 따라 다른 답이 나오겠져 - dc App