[일반] uniform conti면(R에서 R) bounded 보존하는거

[익명(58.140)]

bounded set E에서 원소 x 하나 뽑은 다음에

bounded니까 적당한 x의 반지름 r ball이 존재해서

E를 포함하도록 r을 잡을 수 있고..

그 다음에 uniform conti 니까

|a-b|<d 이면 |f(a)-f(b)|<1 이 되는 d잡고

x에서 d/4간격으로 점찍으면 위에서 ball에 들어가는게 유한개

점 개수를 M개라고 치면 f가 f(x)+M에 bounded

이렇게 풀면 맞나

[익명(92.54)]

E가 connected가 아니라면, x에서 d/4 간격으로 점을 찍는다 하더라도 f의 정의역에서 벗어나게 될수도 있지 않음?

[익명(58.140)]

connected component마다 점을 찍어서 똑같이 하면 어떨까.. component가 유한개면 되고 무한개라면 diam보다 보다 작아야 하니까 component 간격이 d보다 작아져서 될 거 같기도...

[익명(92.54)]

그냥... 만약에 f(E)가 bounded가 아니라면 어떤 E 안의 수열 x_1 , x_2 , ...를 잡을수 있어서 임의의 서로 다른 i,j에 대해서 |f(x_i) - f(x_j)| > 1가 되게끔 할 수 있음. 한편 Bolzano-Weierstrass에 의해서 수열 {x_1,x_2,...}의 수렴하는 부분수열 {y_1 , y_2 , ..}을 잡을수 있음. 하지만 x_i들의 정의로부터 |f(y_i) - f(y_j)| > 1이므로, f(y_n)는 수렴하지 않음. 근데 f가 uniformly continuous라면 y_n이 수렴한다면 f(y_n)은 수렴해야 하므로 모순.

[익명(58.140)]

오 훨씬 간결하네 근데 마지막 줄은 uniform 조건 없이 그냥 conti여도 모순이 나오는 거 맞지?? uniform이 아니어도 되나

[익명(92.54)]

일단 y_n의 극한이 E 위에 존재할 이유가 없어서 그냥 conti라면 무한으로 발산할 여지도 있는데, uniform conti이면 항상 수렴할수밖에 없음.

[익명(92.54)]

실제로 uniform conti function이 E 위에서 주어져있으면 E의 closure 위로 함수를 유일하게 확장할수 있고, 이 함수도 마찬가지로 uniform conti가 됨. 따라서 연속함수는 compact set을 보존하니까, 결국 원래 함수의 image는 bounded라는 방식의 증명도 할 수 있음.

[익명(58.140)]

아아아 그래서 다른 문제에 uniform conti에서 xn이 코시면 f(xn)도 코시라는게 있었구나.. 고마워!