[일반] 예전에 convex가 연속인거 쉽게 보였던거 기억나는데

[익명(223.38)]

도대체 어떻게 한거지

거의 한 두줄 짜리였는데

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

monotone같은 조건 있어야할텐데. 그냥 convex론 모지람

[겨울_(silhouet72)]

점 고정하고, 좌우로 점 하나씩 잡겨 현 두 개 그으면 그래프가 X자 사이에 들어가니까 점으로 극한 보내면 함숫값으로 가서 연속

[겨울_(silhouet72)]

물론 구간에서 convex인걸 가정하고..

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

아 진짜네 뭐랑 착각했지; 좀 자야겠다

[익명(211.212)]

일단 정의역이 open set이어야 할것임. 예를 들어서 closed interval의 경우에는 양 끝점에서 discontinuous하게 항상 만들어줄수 있음 (예를 들어서 (a,b) 위에서는 f(x)=0, f(a)=f(b)=1 같은 식으로 [a,b] 위에서 convex discontinuous function 정의 가능)

[익명(211.212)]

정의역이 R 위의 open set이라면 예를 들어서 정의역을 편의상 (a,b)로 둘 수 있고, convex function의 경우에는 a < x < y < z < b에 대해서 (f(x)-f(y))/(x-y) <= (f(x)-f(z))/(x-z) <= (f(y)-f(z))/(y-z)를 만족해야하니까, 예를 들어서 점 a < p < q < r < b이 주어져있다면 임의의 p < x < q에 대해서 (x,f(x))과 (r,f(r))이 이루는 직선이 (q,f(q))와 (r,f(r))이 이루는 직선보다는 기울기가 작아야 하므로 f(x)는 (q,f(q))와 (r,f(r))이 이루는 직선의 위쪽에 있어야 하고,

[익명(211.212)]

반대로 (p,f(p))와 (x,f(x))가 이루는 직선보다 (p,f(p))와 (q,f(q))가 이루는 직선의 기울기가 더 크니까 f(x)는 (p,f(p))와 (q,f(q))가 이루는 직선 아래쪽에 위치해야할것임. 따라서 f는 점 q에서 left continuous하고, 비슷하게 right continuous하다는것도 보일수 있어서 q에서 연속임.