[일반] 6-2번 문제 질문

[익명(147.47)]

Df의 도집합의 원소들 근방에서 적분가능함을 보이려고 똥꼬쇼하다가 2시간 날림 ㅅㅅ

[익명(147.47)]

+아직 리만적분밖에 안배웠어요

[익명(119.71)]

무슨 책에 나오는거임??

[익명(147.47)]

숙제에요 구글링해봐도 증명에 영측도 쓰는데 왜 지금 내시는지 모르겠어요

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

해석학에서 기본적인 정리고 어렵지 않았는데 왜 지금 당장하려니까 꼬이지... 암튼 리만적분가능이랑 disconti가 measure0랑 동치임

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

그리고 이 문제는 그중 가장 쉬운 두개(finite, countahble)에 대해서 보이란거고

[익명(223.63)]

메져 안쓰고 증명할 수도 있나요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

좀 생각해보다가 귀찮아서 찾아봤는데 그냥 쌩으로 꼬라박는건 좀 어려운듯함

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

http://www.math.ncku.edu.tw/~rchen/Advanced%2520Calculus/Lebesgue%2520Criterion%2520for%2520Riemann%2520Integrability.pdf

[겨울_(silhouet72)]

일단 막 써봄. 각 불연속점을 기준으로 e/2^n 근방을 잡고 모두 합집합해서 U를 만듭니다. 그러면 U는 open이니까 open set들의 disjoint union으로 다시 쓸 수 있고, 이 interval들의 총 길이 합은 기껏해야 2e입니다.

[겨울_(silhouet72)]

이제 함수 g를 정의하는데, U 밖에서는 f와 같고 U에서는, 예를 들어 U를 이루는 disjoint open interval (p, q) 위에서는 f(p)와 f(q)를 잇는 선분을 그래프로 가지도록 정의합시다. 그러면 g는 [a, b]에서 연속이고 따라서 적분 가능해요.

[겨울_(silhouet72)]

그런데 f와 g는 기껏해야 길이 2e인 interval들 위에서 차이나고, 또 f와 g는 모두 적당한 M>0에 의해 bound되니, g의 상합과 하합의 차이가 e보다 작도록 하는 분할 P에 대해 U(f, P)-L(f, P)도 e 단위로 줄테고, 그래서 성립한다고 쓰면 될거 같기도 하고..

[익명(121.135)]

가산집합이라는 조건을 어떻게 써야할지 몰랐는데 이렇게 수열에 대응시켜서 무한합을 할 수가 있군요 ㄷㄷ

[겨울_(silhouet72)]

음.. 잘 될줄 알았는데 마지막에 e 단위로 준다는 게 조금 걸림. U를 이루는 disjoint union들의 양끝점을 잡고 Cantor set에서의 특성함수가 적분가능하다는 거 보일 때처럼 잘 하면 되긴 하겠는데

[coco(166.104)]

불연속인 점들의 집합을 D, D집합의 accumulation point들의 집합을 A (토메함수의 경우는 A가 전체구간이 됨), 연속인 점들의 집합을 C라 하자. C의 각점에서 주어지 e에 대해서 적절한 델타를 잡을 수 있는데 이런 (개집합인) 델타네이버후드들의 합집합을 N이라하자. 그러면 N은 C를 포함하는 개집합. 따라서 폐집합 A에서 폐집합 N을 뺀 집합은 Compact가 됨. 충분히 작은 유한개의 개구간으로 cover가됨. D-A에는 accumulation point가 없으므로 유한개임. 따라서 이 역시 충분히 작은 유한개의 개구간으로 cover가됨. 이러한 유한개의 개구간을 뺀 나머지는 모두 연속인 점이므로 아까 구한 델타네이버후드를 이용하면 적당한 partition을 구할 수 있음.

[coco(166.104)]

폐집합 N --> 개집합 N

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[익명(223.62)]

힌트 얻어서 풀었습니다 감사합니다