[일반] convex set 질문

[convex(143.248)]

R^n의 compact subset K가 있는데, 어떤 n-1차원 평면으로 잘라도 단면이 contractible하다고 하자.

그러면 얘 convex할까?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

겁나 당연히 될거같은데 안되면 좀 충격적이겠는걸

[convex(143.248)]

오 역시 명제 자체는 참이려나

[익명(211.212)]

어떤 set X in R^n에 대해서 hyperplane ax=b가 X의 supporting hyperplane이라는건 (1) 먼저 임의의 y in X에 대해서 ay <= b를 만족하고, (2) ay'=b를 만족하는 y' in X가 존재하는 경우를 말함. 비슷한 방식으로 (Hausdorff) topological vector space로 정의를 확장할 수 있고, 실제로 이러한 supporting hyperplane을 이용해서 convex set을 characterize하는 경우가 많음.

[익명(211.212)]

예를 들어서 supporting hyperplane을 이용한 유명한 characterization 중 하나는, closed subset K with nonempty interior in a real Hausdorff topological vector space X가 convex인것과, K의 각각의 boundary point를 지나는 supporting hyperplane이 존재하는것은 동치임. 그리고 convex polytope에 대해서 배웠다면 비슷한 statement를 볼 수 있었을 것임.

[익명(211.212)]

그리고, 본문의 질문보다 더 약한 조건으로 euclidean convex set의 분류가 가능함. Liberman의 정리가 그 예 중 하나인데, K가 R^n의 nonempty compact set이라면 K가 convex인건 임의의 supporting hyperplane H of K에 대해서, H와 K의 intersection이 acyclic space이기만 하면 됨. 여기서 acyclic이란, 점 하나로 이루어진 공간과 homology group이 isomorphic하다는 뜻.

[익명(211.212)]

그러니까 (1) 모든 hyperplane와의 intersection을 고려하지 않아도 되고 (supporting hyperplane과의 관계만 따지면 됨), (2) hyperplane과 intersection이 contractible하다는 조건을 약화시켜서, 그냥 0th homology는 Z이고 i>=1에 대해서 ith homology는 vanish하기만 하면 된다는것임.

[convex(223.39)]

와 대단하네...정말 고맙다

[convex(223.39)]

이런건 대체 어디서 배우는거지

[익명(45.64)]

Convex geometry의 기본적인 내용임..